資料結構
網路
關係型資料庫管理系統
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化學
生物
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝設計
法律學如果三角形ABC的三條邊的中點分別為D(-1/2, 5/2)、E(7, 3)和F(7/2, 7/2)，求三角形ABC的面積。
已知
$D (\frac{−1}{2}, \frac{5}{2}), E (7, 3)$ 和 $F (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$ 是三角形ABC三條邊的中點。
要求
我們需要求出三角形ABC的面積。
解答
設三角形ABC的頂點分別為\( A=\left(x_{1}, y_{1}\right), B=\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 和 \( C=\left(x_{3}, y_{3}\right) \)。
線段兩個端點為\( (x_{1}, y_{1}) \) 和 \( (x_{2}, y_{2}) \) 的中點座標為 \( (\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}) \)
\( D\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right) \) 是BC的中點。
\( \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=-\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow x_{2}+x_{3}=-1 \)......(i)
\( \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=\frac{5}{2} \)
\( \Rightarrow y_{2}+y_{3}=5 \).......(a)
類似地，
\( \mathrm{E}(7,3) \) 是CA的中點。
\( \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=7 \)
\( \Rightarrow x_{3}+x_{1}=14 \).......(ii)
\( \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=3 \)
\( \Rightarrow y_{3}+y_{1}=6 \).......(b)
\( \mathrm{F}\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right) \) 是AB的中點。
\( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{7}{2} \)
\( \Rightarrow x_{1}+x_{2}=7 \)......(iii)
\( \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{7}{2} \)
\( \Rightarrow y_{1}+y_{2}=7 \).......(c)
將方程(i)、(ii)和(iii)相加，得到：
\( 2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=20 \)
\( \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=10 \).......(iv)
分別從(iv)中減去(i)、(ii)和(iii)，得到：
\( x_{1}=11, x_{2}=-4, x_{3}=3 \)
將方程(a)、(b)和(c)相加，得到：
\( 2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=18 \)
\( \Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=9 \)......(d)
分別從(d)中減去方程(a)、(b)和(c)，得到：
\( y_{1}=4, y_{2}=3, y_{3}=2 \)
因此，三角形ABC的頂點為\( \mathrm{A}(11,4) \) \( \mathrm{B}(-4,3) \text { 和 } \mathrm{C}(3,2) \)
三角形ABC的面積\( \Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \)
\( \Delta=\frac{1}{2}[11(3-2)+(-4)(2-4)+3(4-3)] \)
\( =\frac{1}{2}[11 \times 1+(-4)(-2)+3(1)] \)
\( =\frac{1}{2}(11+8+3) \)
\( =\frac{22}{2} \)
\( =11 \)
三角形ABC的面積為11平方單位。
44 次檢視
