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法學研究化簡
(i) \( 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} \)
(ii) \( \left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7} \)
(iii) \( \frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}} \)
(iv) \( 7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} \)
待辦事項
我們需要化簡
(i) \( 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} \)
(ii) \( \left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7} \)
(iii) \( \frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}} \)
(iv) \( 7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} \)
解答：
我們知道：
$(a^m)^n=(a)^{mn}$
$a^m \times a^n=a^{m+n}$
因此：
(i) $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}=(2)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}$
$=(2)^{\frac{2\times5+1\times3}{15}}$ (3和5的最小公倍數是15)
$=(2)^{\frac{10+3}{15}}$
$=(2)^{\frac{13}{15}}$
因此 $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}=(2)^{\frac{13}{15}}$
(ii) $(\frac{1}{3^{3}})^{7}=(3^{-3})^{7}$ [因為 $\frac{1}{a^m}=a^{-m}$]
$=(3)^{-3\times7}$
$=(3)^{-21}$
$=(3)^{-21}$
因此 $(\frac{1}{3^{3}})^{7}=(3)^{-21}$
(iii) $\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}=(11)^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$ [因為 $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$]
$=(11)^{\frac{1\times2-1}{4}}$ (2和4的最小公倍數是4)
$=(11)^{\frac{2-1}{4}}$
$=(11)^{\frac{1}{4}}$
因此 $\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}=(11)^{\frac{1}{4}}$
(iv) $7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}=(7\times8)^{\frac{1}{2}}$ [因為 $a^m \times b^m = (a\times b)^m$]
$=(56)^{\frac{1}{2}}$
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