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法律研究在給定圖形中，$ABC$是一個三角形，其中$\angle ABC = 90^o$，且$AD \perp CB$。證明$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2BC \times BD$
"
已知
$ABC$是一個三角形，其中$\angle ABC = 90^o$，且$AD \perp CB$。
目標
我們需要證明$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2BC \times BD$
解答
在$\triangle ADB$中，
$\angle ADB=90^{\circ}$
根據勾股定理，
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$.........(i)
在$\triangle ADC$中，$\angle ADC=90^{\circ}$
根據勾股定理，
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}$
$=\mathrm{AD}^{2}+(\mathrm{BC}-\mathrm{BD})^{2}$
$=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}-2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD}$
$=(\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2})+\mathrm{BC}^2-2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD}$
$=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD}$ [由(i)]
證畢。
更新於：2022年10月10日
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