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法律研究同步電機勵磁電壓的確定
同步電機的勵磁電壓是指提供給轉子以產生所需磁通的直流電源。可以使用複數代數確定同步電機在不同功率因數下的勵磁電壓 (Ef)。
假設電源電壓 (V) 為參考電壓。因此，
$$\mathrm{V=V\angle0°=V+j0\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
然後，不同功率因數下的電樞電流如下所示：
對於滯後功率因數 -
$$\mathrm{I_{a}=I_{a}\angle-φ=I_{a}cosφ-jI_{a}sinφ\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
對於單位功率因數 -
$$\mathrm{I_{a}=I_{a}\angle0°=I_{a}+j0\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
對於超前功率因數 -
$$\mathrm{I_{a}=I_{a}\angle+φ=I_{a}cosφ+jI_{a}sinφ\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
現在，同步電機的勵磁電壓由下式給出：
$$\mathrm{E_{f}=V-I_{a}Z_{S}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
其中，ZS 為同步阻抗，由下式給出：
$$\mathrm{Z_{S}=R_{a}+jX_{S}\:\:\:\:\:\:...(6)}$$
情況 1 - 滯後功率因數下的勵磁電壓
$$\mathrm{E_{f}\angleδ=V\angle0°-(I_{a}=I_{a}\angle-φ)(R_{a}+jX_{S})}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:E_{f}\angleδ=(V+j0)-(I_{a}cosφ-jI_{a}sinφ)(R_{a}+jX_{S})}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:E_{f}\angleδ=(V+j0)-(I_{a}R_{a}cosφ+jI_{a}X_{S}cosφ-jI_{a}R_{a}sinφ+I_{a}X_{S}sinφ)}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:E_{f}\angleδ=(V-I_{a}R_{a}cosφ-I_{a}X_{S}sinφ)-j(I_{a}X_{S}cosφ-I_{a}R_{a}sinφ)\:\:\:\:\:\:...(7)}$$
滯後功率因數下勵磁電壓的大小由下式給出：
$$\mathrm{\left|E_{f}\right|=\sqrt{(V-I_{a}R_{a}cosφ-I_{a}X_{S}sinφ)^{2}+(I_{a}X_{S}cosφ-I_{a}R_{a}sinφ)^{2}}\:\:\:\:\:\:...(8)}$$
轉矩角由下式給出：
$$\mathrm{δ=-tan^{-1}\left[\frac{I_{a}X_{S}cosφ-I_{a}R_{a}sinφ}{V-I_{a}R_{a}cosφ-I_{a}X_{S}sinφ}\right]\:\:\:\:\:\:...(9)}$$
情況 2 - 單位功率因數下的勵磁電壓
對於單位功率因數，
$$\mathrm{cosφ=1}$$
由公式 (8) 和 (9)，我們得到：
$$\mathrm{\left|E_{f}\right|=\sqrt{(V-I_{a}R_{a})^{2}-(I_{a}X_{S})^{2}}\:\:\:\:\:\:...(10)}$$
$$\mathrm{δ=-tan^{-1}\left(\frac{I_{a}X_{S}}{V-I_{a}R_{a}}\right)\:\:\:\:\:\:...(11)}$$
情況 3 - 超前功率因數下的勵磁電壓
$$\mathrm{\left|E_{f}\right|=\sqrt{(V-I_{a}R_{a}cosφ+I_{a}X_{S}sinφ)^{2}+(I_{a}X_{S}cosφ+I_{a}R_{a}sinφ)^{2}}\:\:\:\:\:\:...(12)}$$
轉矩角，
$$\mathrm{δ=-tan^{-1}\left[\frac{I_{a}X_{S}cosφ+I_{a}R_{a}sinφ}{V-I_{a}R_{a}cosφ+I_{a}X_{S}sinφ}\right]\:\:\:\:\:\:...(13)}$$
數值示例
一臺 1500 kVA、11000 V、三相星形連線的同步電機，每個相位的電樞電阻和同步電抗分別為 4 Ω 和 50 Ω。
確定每個相位的勵磁電動勢和電機在 0.8 滯後功率因數滿載時的轉子角滯後。
解決方案
每個相位的電源電壓，
$$\mathrm{V=\frac{11000}{\sqrt{3}}= 6351V}$$
電樞電流為：
$$\mathrm{kVA_{3φ}=\frac{\sqrt{3}V_{L}I_{a}}{1000}}$$
$$\mathrm{\therefore\:I_{a}=\frac{(kVA)_{3φ}\:\times\:1000}{\sqrt{3}V_{L}}=\frac{1500\times\:1000}{\sqrt{3}\:\times\:11000}= 78.7A}$$
在 0.8 滯後功率因數下 -
$$\mathrm{cosφ = 0.8 \:那麼\: sinφ = 0.6}$$
滯後功率因數下勵磁電壓的大小為
$$\mathrm{\left|E_{f}\right|=\sqrt{(V-I_{a}R_{a}cosφ-I_{a}X_{S}sinφ)^{2}+(I_{a}X_{S}cosφ-I_{a}R_{a}sinφ)^{2}}}$$
$$\mathrm{\left|E_{f}\right|=\sqrt{[6351-(78.7\:\times4\:\times0.8)-(78.7\:\times50\:\times0.6)]^{2}+[(78.7\:\times50\:\times0.8)-(78.7\:\times4\:\times0.6)]^{2}}}$$
$$\mathrm{\left|E_{f}\right|=4767.6V}$$
轉子的角滯後為：
$$\mathrm{轉矩角,δ=-tan^{-1}\left[\frac{I_{a}X_{S}cosφ-I_{a}R_{a}sinφ}{V-I_{a}R_{a}cosφ-I_{a}X_{S}sinφ}\right]}$$
$$\mathrm{δ=-tan^{-1}\left(\frac{2959.12}{3738.16}\right)=-38.37°}$$
因此，每個相位的勵磁電動勢和電機的角滯後為：
$$\mathrm{E_{f}\angleδ=4767.6\angle-38.37°伏特/相}$$
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