規範形式之間的轉換

---

當邏輯表示式或布林函式表示為最小項之和或最大項之積時，則稱為該表示式或函式的規範形式。

布林表示式的規範形式也稱為標準形式，即標準積之和 (SSOP) 形式和標準和之積 (SPOS) 形式。布林函式的規範形式涉及最小項和最大項。

• 最小項是一個乘積項，其中包含布林函式的所有變數，這些變數以補碼或非補碼形式出現。

• 最大項是一個和項，其中包含布林函式的所有變數，這些變數以補碼或非補碼形式出現。

我們可以將一種規範形式轉換為另一種規範形式。在本教程中，我們將討論規範形式之間的轉換。

規範形式之間的轉換

以最小項之和表示的布林函式的補碼等於原始布林函式中缺少的最小項之和。這是因為，原始布林函式僅包含那些使函式等於 1 的最小項。而布林函式的補碼對於那些使函式等於 0 的最小項等於 1。

例如，考慮一個包含 3 個變數的布林函式，

$$\mathit{f}\mathrm{\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 1,2,4,5,7\rgroup }$$

此函式的補碼為：

$$\mathrm{\overline{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup} =\sum m\lgroup 0,3,6) =m_0+m_3+m_6}$$

現在，如果我們使用德摩根定理 ($\lgroup\overline{A+B}=\overline{A}.\overline{B}\rgroup$) 對函式 (f’) 取補碼，我們將獲得原始布林函式 (f) 的不同形式，即

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup\overline{ m_0+m_3+m_6}\rgroup=\overline{m_0}.\overline{m_3}.\overline{m_6}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=M_0.M_3.M_6=\prod \lgroup 0,3,6\rgroup}$$

實際上，

$$\mathrm{\overline{m_i} =M_i}$$

即，下標為 i 的補最小項等於下標為 i 的最大項，反之亦然。

因此，根據此討論，我們可以寫出規範形式之間轉換的步驟。這些步驟如下：

• 互換運算子 Σ 和 Π。

• 使用德摩根定理來寫出原始布林函式形式中不存在的項。

現在，讓我們討論一些已解決的示例，以便更詳細地理解這個概念。

示例 1

將以下布林函式從規範 SOP 形式轉換為規範 POS 形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 0,1,2,5,7\rgroup }$$

解決方案

給定的布林函式為：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 0,1,2,5,7\rgroup }$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=m_0+m_1+m_2+m_5+m_7}$$

在規範 SOP 形式中，缺少最小項 3、4 和 6。因此，在規範 POS 形式中，將存在最大項 3、4 和 6。因此，給定布林函式的規範 POS 形式為：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 3,4,6\rgroup=M_3.M_4.M_6}$$

示例 2

將以下布林函式從規範 POS 形式轉換為規範 SOP 形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 0,2,4,7\rgroup}$$

解決方案

給定的布林函式為：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 0,2,4,7\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=M_0.M_2.M_4.M_7}$$

在規範 POS 形式中，缺少最大項 1、3、5 和 6。因此，在規範 SOP 形式中，將存在最小項 1、3、5 和 6。

因此，給定布林函式的規範 SOP 形式為：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 1,3,5,6\rgroup =m_1+m_3+m_5+m_6}$$

結論

這就是規範形式之間轉換的全部內容。在本文的上述部分中，我們已經看到，布林函式的規範 SOP 形式可以轉換為規範 POS 形式，反之亦然，只需互換運算子 Σ 和 Π，並列出原始布林函式中缺少的項。