複數
引言
複數使得求負數的平方根變得更簡單。
複數的概念首次出現是在公元一世紀,當時希臘數學家亞歷山大的希羅試圖計算負數的平方根。
然而,他將整數的負值變為正值,並得到了它們的根值。
此外,當十六世紀義大利數學家傑羅拉莫·卡爾達諾發現三階和二階多項式的負根時,複數的特性得到了確立。
許多科學研究都使用了複數,包括訊號處理、電磁學、流體物理學、量子力學和振動分析。
在這裡,我們將瞭解複數的定義、術語、視覺化、性質和運算。在本教程中,我們將討論複數。
定義
複數是由實數和虛數組合而成的。複數的格式為$\mathrm{a\:+\:ib}$,其中$\mathrm{ib}$是虛部,a是實部。
因此,複數是兩個數(實數和虛數)相加的簡單表示式。a是純實數,b是純虛數。
實數 - 在數系表示法中存在的所有數,例如正數、負數、零、整數、有理數、無理數和分數,都是實數。
虛數 - 不是實數的數就是虛數。虛數的平方結果為負數,表示為$\mathrm{i\:=\:\sqrt{-1}}$
虛數單位iota
iota是虛數單位,用i表示,其值為$\mathrm{\sqrt{-1}}$或$\mathrm{i\:=\:\sqrt{-1}}$
iota是一個希臘字母,在數學中廣泛用於表示複數的虛部。
你可能遇到過這種情況:在求解二次方程時,判別式為負數。
例如,二次方程𝑥² + 𝑥 + 1 = 0。使用二次方程求解,結果得到一個負的判別式(平方根內的部分)。
極座標形式
複數的極座標形式以不同於直角座標形式的方式表示複數。
複數是實數和虛數的組合。
複數的格式為$\mathrm{a\:+\:ib}$。
其中ib是虛部,a是實部。
然而,在極座標形式中,複數表示為模和幅角的組合。
複數的模也稱為絕對值。這種極座標形式使用座標系的實軸和虛軸(虛數)極座標來表示。

這裡,垂直軸表示虛軸,水平軸表示實軸。
計算r和θ以確定座標的實部和虛部。r是向量的長度,θ是向量與實軸所成的角。
$$\mathrm{z\:=\:x\:+\:iy}$$
$$\mathrm{z\:=\:r(\cos\theta\:+\:i\:\sin\theta)}$$
對於複數,r表示絕對值或模,角度θ稱為複數的幅角,$\mathrm{r\:=\:\lvert\:Z\:\rvert\:=\:\sqrt{x^{2}\:+\:y^{2}}}$
尤拉公式和棣莫弗定理
尤拉公式描述了復指數函式和三角函式之間的關係。
尤拉公式指出:對於任何實數x,$\mathrm{e^{ix}\:=\:\cos\:x\:+\:i\:sin\:x}$
$$\mathrm{z\:=r\:(\:\cos\:x\:+\:i\:sin\:x)}$$
$$\mathrm{z\:=r\:e^{ix}}$$
其中i = 虛數單位,x = 以弧度表示的角度
棣莫弗定理也是用於複數的定理。該定理用於將複數提高到不同的冪。
$$\mathrm{r\:(\cos\:x\:+\:i\sin\:x)^{n}}$$
$$\mathrm{r\:(e^{ix})^{n}}$$
$$\mathrm{=\:r\:e^{ix}}$$
因此,
$$\mathrm{z^{n}\:=\:re^{inx}\:=\:r\:(cos\:nx\:+\:i\:sin nx)}$$
代數形式下複數的平方根
複數的平方根是另一個複數,其平方等於給定的複數。例如,如果複數
$\mathrm{a\:+\:ib}$的平方根是$\mathrm{\sqrt{a\:+\:ib}\:=\:x\:+\:iy}$
兩邊平方,得到:
$$\mathrm{a\:+\:ib\:=\:(x\:+\:iy)^{2}}$$
$$\mathrm{a\:+\:ib\:=\:x^{2}\:+\:(iy)^{2}\:+\:i2xy}$$
$$\mathrm{a\:+\:ib\:=\:x^{2}\:-\:y^{2}\:+\:i2xy}$$
現在比較實部和虛部
$\mathrm{a\:=\:x^{2}\:-\:y^{2}}$ 和 $\mathrm{b\:=\:2xy}$
我們知道,
$$\mathrm{(x^{2}\:+\:y^{2})^{2}\:=\:(x^{2}\:-\:y^{2})^{2}\:+\:(2xy)^{2}}$$
現在代入它們的值
$$\mathrm{(x^{2}\:+\:y^{2})^{2}\:=\:(a)^{2}\:+\:(b)^{2}}$$
$\mathrm{x^{2}\:+\:y^{2}\:=\:\sqrt{(a)^{2}\:+\:b^{2}}}$ 和 $\mathrm{a\:=\:x^{2}\:-\:y^{2}}$
透過求解這些方程,我們得到
$\mathrm{x\:=\:\pm\:\sqrt{\frac{(\sqrt{(a)^{2}\:+\:(b)^{2}\:+\:a}\:)}{2}}\:and\:y\:=\:\pm\:\sqrt{\frac{(\sqrt{(a)^{2}\:+\:(b)^{2}\:−\:a}\:)}{2}}}$
由於𝑏 = 2𝑥𝑦,所以
如果x和y具有相同的符號,則𝑏 > 0。
如果x和y具有相反的符號,則𝑏 < 0。
因此,複數𝑎 + 𝑖𝑏的平方根由下式給出
$$\mathrm{\sqrt{a\:+\:ib}\:=\:x\:+\:iy}$$
$$\mathrm{\sqrt{a\:+\:ib}\:=\:\pm\:\sqrt{\frac{(\sqrt{(a)^{2}\:+\:(b)^{2}\:+\:a}\:)}{2}}\:\pm\:\frac{ib}{\lvert\:b\:\rvert}\sqrt{\frac{(\sqrt{(a)^{2}\:+\:(b)^{2}\:−\:a}\:)}{2}}}$$
$$\mathrm{\sqrt{a\:+\:ib}\:=\:\pm\:(\sqrt{\frac{\lvert\:z\:\rvert\:+\:a}{2}}\pm\frac{ib}{\lvert\:b\:\rvert}\sqrt{\frac{\lvert\:z\:\rvert\:-\:a}{2})}}$$
例題
例1 - 求複數$\mathrm{z\:+\:1\:+\:2i}$的模
解:給定的複數是$\mathrm{z\:+\:1\:+\:2i}$,我們需要求其模,即
$\mathrm{\lvert\:z\rvert\:=\:\sqrt{(1)^{2}\:+\:(2)^{2}}}$
$\mathrm{\lvert\:z\rvert\:=\:\sqrt{5}}$
例2 - 簡化複數$\mathrm{z\:=\:\frac{3\:+\:4i}{\sqrt2\:+\:i}}$
解 - 給定的複數是$\mathrm{z\:=\:\frac{3\:+\:4i}{\sqrt2\:+\:i}}$
現在在分子和分母中乘以其共軛複數
$$\mathrm{z\:=\:\frac{3\:+\:4i}{\sqrt2\:+\:i}\times\:\frac{\sqrt2\:-\:i}{\sqrt2\:-\:i}}$$
$$\mathrm{z\:=\:\frac{3\sqrt2\:+\:4\sqrt2i\:-\:3i\:+\:4}{2\:-\:1}}$$
$$\mathrm{z\:=\:{(3\sqrt2\:+\:4)\:+\:i(4\sqrt{2}\:-\:3)}}$$
例3 - 求複數$\mathrm{z\:=\:4\:+\:3i}$的平方根
解 - 給定的複數是$\mathrm{z\:=\:4\:+\:3i}$
$$\mathrm{\lvert\:z\:\rvert\:=\:\sqrt{(4)^{2}\:+\:(3)^{2}}}$$
$$\mathrm{\lvert\:z\:\rvert\:=\:\sqrt{25}}$$
$\mathrm{\lvert\:z\:\rvert\:=\:5}$
並且$\mathrm{a\:=\:4}$,$\mathrm{b\:=\:3}$
現在使用複數平方根的公式
$\mathrm{\sqrt{a\:+\:ib}\:=\:\pm\:(\sqrt{\frac{\lvert\:z\:\rvert\:+\:a}{2}}\pm\frac{ib}{\lvert\:b\:\rvert}\sqrt{\frac{\lvert\:z\:\rvert\:-\:a}{2})}}$
現在代入值
$\mathrm{\sqrt{a\:+\:ib}\:=\:\pm\:(\sqrt{\frac{5\:+\:4}{2}}\pm\frac{i3}{\lvert\:3\:\rvert}\sqrt{\frac{5\:-\:3}{2})}}$
$$\mathrm{\sqrt{a\:+\:ib}\:=\:\pm\:(\frac{3}{2}\:+\:i)}$$
結論
複數是由虛數和實數相加而成的。複數通常具有$\mathrm{a\:+\:ib}$的形式,並用符號z表示。在這種情況下,由於a和b都是實數,所以用Re(z)表示實部“a”的值,用Im(z)表示虛部“b”的值,ib也被稱為虛數。
常見問題
1. 複數是什麼意思?
複數是由實數和虛數組合而成的。複數的格式為𝑎 + 𝑖𝑏,其中ib是虛部,a是實部。
2. 在複數中,iota是什麼?
iota是虛數單位,用i表示,其值為$\mathrm{\sqrt{-1}}$或$\mathrm{i\:=\sqrt{-1}}$
3. 複數的極座標形式是什麼意思?
與直角座標形式不同,複數在極座標形式中以不同的方式表示。複數通常表示為$\mathrm{z\:=\:x\:+\:iy}$
4. 尤拉公式是什麼?
尤拉公式描述了復指數函式和三角函式之間的關係。
$\mathrm{z\:=\:r(\cos\theta\:+\:i\:sinx)}$
$\mathrm{z\:=\:r\:e^{ix}}$
5. 複數中的模是什麼?
複數$\mathrm{z\:=\:a\:+\:ib}$在阿甘圖平面中與原點的距離稱為複數的模。它用符號$\mathrm{\lvert\:z\:\rvert}$表示,等於$\mathrm{z\:=\:\sqrt{(a)^{2}\:+\:(b)^{2}}}$。複數的絕對值是表示複數在阿甘圖平面中為向量的向量的長度。