心理學中Z分數的應用

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為了標準化意義、建立共同基準並進行比較，原始分數通常會被轉換為標準分數。這種轉換可以是線性的或非線性的。分數的量表零點和測量單位都受線性轉換的影響。這些轉換改變了原始分數的平均值和標準差，但轉換後分數之間的差異與相應原始分數之間的差異在相對大小上密切對應。因此，原始分數分佈的原始形狀、偏度和峰度在轉換後的分數分佈中保持不變。

什麼是Z分數？

最簡單的標準分數是線性轉換的z分數、標準差或相對偏差。它以標準差為單位測量原始分數與平均值的偏差。z分數表示給定原始分數與平均值的偏差是標準差的多少倍。無論原始分數的原始單位如何，z分數都以標準差單位或σ單位表示。分佈的平均值（µ）的z分數為零。將原始資料標準化為z分數的優點包括以下幾點

• Z分數的計算

• 原始分數可以使用以下公式進行線性轉換

Z分數的計算

原始分數可以使用以下公式進行線性轉換

$\mathrm{X_s = \overline{X}_s +(X − \overline{X})\frac{s_s}{s}}$

其中，

$\mathrm{X_s}$ = 轉換後的分數

$\mathrm{\overline{X}_s}$ = 轉換後分數的平均值

$\mathrm{s_s}$ = 轉換後分數的標準差

$\mathrm{\overline{X}}$ = 原始分數的平均值

s = 原始分數的標準差

在上述公式中，將0作為$\mathrm{\overline{x}}$，將1作為$\mathrm{s_s}$，則轉換後的分數$\mathrm{X_s}$即為z分數。因此，

$\mathrm{z = \frac{X − \overline{X}}{s}}$

或者，

$\mathrm{z = \frac{X − \mu}{\sigma}}$

其中，$\mathrm{x}$ = 計算z分數的值，也稱為原始分數

$\mathrm{\mu}$ = 總體平均值

$\mathrm{\sigma}$ = 總體標準差

透過線性轉換獲得的樣本z分數的頻率分佈與原始原始分數相同，只是單位更改為σ單位，並且量表的零點已修改。z分數分佈的平均值為零，與$\mu$的z分數相同，而分佈的標準差為1。因此，z分數非常適合比較相同或不同單位的分數，或者比較平均值和標準差差異很大的分數。

與原始分數類似，樣本平均值也可以使用平均值的標準誤差（SE）$\mathrm{s_\overline{x}}$類似地轉換為z分數。

$\mathrm{z = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_\overline{x}}}$

或者，

$\mathrm{z = \frac{\overline{X}-\mu}{s_\overline{x}}}$

這樣計算得到的z分數表示樣本平均值與總體平均值的偏差，以標準誤差為單位。$\mu$的z分數，

$\mathrm{z=\frac{(\mu-\mu)}{\sigma_\overline{x}}}$，等於$0$，樣本平均值的z分數圍繞其形成一個抽樣分佈，其形狀與相應樣本平均值的抽樣分佈的形狀相同——需要回憶的是，z分數是線性轉換的原始分數，因此具有與這些原始分數相同的抽樣分佈形式。

z分數也計算為標準分數，以表示兩個總體（樣本從中抽取）的引數平均值之間的差異（X1 − X2）的偏差。其中$\mathrm{s_{\overline{x}_{1} − \overline{x}_{2}}}$是樣本平均值之間這種差異的估計標準誤差，

$\mathrm{z = \frac{(\overline{X}_{1} − \overline{X}_{2}) − (\mu_1 − \mu_v)}{s_{\overline{x}_{1} − \overline{x}_{2}}}}$

當兩個樣本都來自同一總體時，

$\mathrm{\mu_1 − \mu_2 = 0}$

因此，

$\mathrm{z = \frac{\overline{X}_1 − \overline{X}_2}{s_{\overline{x}_1 − \overline{x}_2}}}$

Z分數的解釋

它包括

z分數以標準差單位測量

例如，z分數為1.2表示觀察值比平均值高1.2個標準差。z分數越接近零，該值就越接近平均值。該值越遠離平均值，z分數就越遠離零。

z分數可以是正數或負數

分佈平均值的z分數為零，對於高於平均值的任何分數為正，對於低於平均值的任何分數為負。因此，比平均值高1.65倍標準差的原始分數的z分數為+1.65 $\sigma$；比平均值低1.96倍標準差的原始分數的z分數為−1.96 $\sigma$。

z分數可以快速與其他指標進行比較

z分數可用於比較相似但不同的測量值。身高和體重、家庭收入和債務水平、男性和女性的靜息心率以及其他引數都可以使用z分數進行比較。需要記住的關鍵一點是，正在比較的變數的底層分佈應該是可比的。

結論

兩個樣本平均值之間差異的z分數應用於檢驗實驗中觀察到的這種差異的顯著性。但是，由於z分數的單位為一個σ，它相對較大，因此計算出的z分數通常具有小數的值。