向量加法的三角形法則

---

引言

向量加法的三角形法則是一種用於加法兩個向量的概念，也稱為頭尾相連法。該法則還有助於計算速度、淨位移和加速度。該法則有助於向量代數，以求得兩個或多個向量之和的結果向量R。如果將兩個向量視為P和Q，它們之間的夾角為θ，則可以使用向量加法的三角形法則公式求出它們的和。 結果向量R的大小|R|和方向ϕ的公式分別為：$\mathrm{|R|\: =\:\sqrt{(P^{2} + Q^{2}+ 2PQ\: cos\: θ)}}$，和 $\mathrm{ϕ \: =\: tan^{-1}[(Q\: sin \:θ)/(P \:+ \:Q \:cos \:θ)]}$。

什麼是向量加法？

向量通常用帶有箭頭的線段表示，箭頭指向向量的方向，線段長度表示向量的大小。向量加法的三角形法則用於數學和物理學中，計算兩個向量的和，其中第一個向量的箭頭與第二個向量的起點相連 (Zuleger, 2020)。結果向量的大小可以表示為：R: $\mathrm{R\: =\: \sqrt{(P^{2} \:+\: 2PQ \:cos \:θ\: + \:Q^{2})}}$。結果向量的方向可以寫成：R: $\mathrm{ϕ \: =\:tan^{-1}[(Q\: sin\: θ)/(P \:+\: Q\: cos\: θ)]}$。

向量加法的法則

由於向量既有大小又有方向，因此不能用普通的代數方法進行加法。向量只能用幾何方法和圖形方法相加。向量加法的兩個主要法則分別是三角形法則和平行四邊形法則，如下所示。

圖1：向量三角形法則

向量三角形法則

如果兩個向量的大小和方向分別由一個三角形的兩條相鄰邊（按順序）表示，則稱為向量三角形法則。它們的合向量則由該三角形的第三條邊（反向）表示 (Raskin *et al.* 2021)。如上圖所示，可以使用向量三角形法則計算夾角為θ的兩個向量P和Q的合向量。

圖2：向量平行四邊形法則

向量平行四邊形法則

如果兩個向量的大小和方向分別由一個平行四邊形的兩條相鄰邊表示，則稱為向量平行四邊形法則。合向量的大小和方向由透過這兩個向量公共起點的對角線表示。如上圖所示，考慮兩個向量P和Q，它們之間夾角為θ。

向量加法三角形法則的推導

向量加法的三角形法則有助於向量代數，並可以推匯出兩個或多個向量之和的結果向量。例如，一輛汽車從A點行駛到B點，然後從B點行駛到C點（如下圖所示）。在這種情況下，為了確定汽車的淨位移，可以使用向量加法的概念。汽車的淨位移由向量AC表示，可以使用向量加法的三角形法則計算。

圖3：向量加法的三角形法則

在另一種情況下，有兩個向量：Q和P（如上圖所示）。在這裡，為了推匯出向量加法，重要的是找到這兩個向量的和。然後，移動向量Q，使其大小和方向保持不變，並將它的起點與向量P的終點連線起來。在這種情況下，可以使用向量加法的三角形法則推匯出向量P和Q的和。

應用

向量加法的三角形法則，是向量加法的主要法則之一。向量加法是兩個不遵循普通代數法則的向量的幾何和 (De Sousa *et al.* 2017)。結果向量可以稱為向量合成。向量加法適用於多種情況，如下所示。

• 向量和標量不能相加。

• 要相加的兩個向量必須具有相同的性質。例如，速度只能與速度相加，不能與力相加。

結論

如果兩個向量方向相同，則這兩個向量之間的夾角由公式計算：θ = 0°，cos 0° = 1，sin 0° = 0。這裡，結果向量的方向與每個向量的方向相同，其大小之和等於其他向量的大小。如果兩個向量方向相反，則這兩個向量之間的夾角由公式計算：θ = 180°，cos 180° = -1，sin 180° = 0。這裡，結果向量的大小等於兩個向量大小的差，方向與大小較大的向量方向相同。

常見問題

Q1. 向量求和是什麼意思？

A1. 不遵循普通代數法則的多個向量的物理求和稱為向量加法或求和。向量加法的兩個主要法則分別是向量三角形法則和平行四邊形法則。

Q2. 向量量的例子有哪些？

A2. 既有大小又有方向的幾何實體稱為向量。向量量的例子包括位移、重量、力、速度。

Q3. 標量量是什麼意思？

A3. 只有大小而沒有方向的量稱為標量量。這種物理量用數值表示，沒有方向。

Q4. 標量量的主要例子有哪些？

A4. 標量量的主要例子包括時間、距離、質量、速度、密度、溫度和體積。所有這些量都只有大小。