求C++中的級數1 + (1+3) + (1+3+5) + (1+3+5+7) + ...... + (1+3+5+7+...+(2n-1))和

我們已經給定了一個數字 n。我們的任務是編寫一個程式，求出級數 1 + (1+3) + (1+3+5) + (1+3+5+7) + …… + (1+3+5+7+…+(2n-1)).  的和。

使用一個例子來幫助理解題目：

輸入：  n = 5

輸出： 55

根據題目，假設使用者給我們一個數字“n”，然後我們求級數 1 + (1+3) + (1+3+5) + (1+3+5+7) + …… + (1+3+5+7+…+(2n-1)) 的和。

首先，我們需要弄清楚這個級數的含義。

當 n = 1 時，級數變為 1。

當 n = 2 時，級數變為了 1 + (1+3)，因為最後一個項 2n-1 可以計算為 2 乘以 2，然後減去 1，即 3。

這個問題可以透過兩種不同的方法解決。一種是藉助數學方法，可以獲得總和的表示式，因此不需要任何迴圈。另一種方法則是在程式碼中應用兩個迴圈。

使用迴圈直接求解

可以看到，該級數 1 + (1+3) + (1+3+5) + (1+3+5+7) + …… + (1+3+5+7+…+(2n-1)) 的每個項本身就是一個級數。因此，我們將使用巢狀迴圈。外層迴圈計算第二個項。而內層迴圈則用於計算項本身。

例項

線上演示

#include<stdio.h>

int calcSum(int n){
   int sum = 0;
   for (int i = 1; i <= n; i++) {
      // the first value of the term is always 1
      int value = 1;
      for (int j = 1; j <= i; j++) {
         sum += value;
         // next term
         value += 2;
      }
   }
   return sum;
}

int main(){
   int n = 35;
   printf("The sum of the series upto %d is %d ", n , calcSum(n));

}

輸出

The sum of the series upto 35 is 14910

程式的工作方式

• 使用者輸入 n 的值。比如 2。
• 宣告名為“sum”的變數，其初始值是 0。
• 當 i=1，for 條件 i<=n 為真，因此，迴圈將起作用。
  • 變數“ft”的值是 1。
  • j 的第一個值是 1。條件為真，因為 j 的值等於 i 的值，也是 1。所以，j 迴圈起作用。
  • ft 的值將增加到 sum。因此，sum 變成 0+1 等於 1。
  • ft 的值已更改並增加了 2，因此其新值為 1+2 = 3。
  • j 的值增加 1，變成 2。
  • 但現在內部 for 迴圈的條件為假，因為現在 j>i。因此，j 迴圈已退出。
• 現在 i 的值增加 1，變成 2，因此 i=2，條件 i<= n 為真，因此進入迴圈。
  • 變數“ft”的值再次定義為 1。
  • 當 j 的值為 1 時，迴圈將起作用，因為 j<i 或 1<2。
  • ft 的值將增加到 sum。sum 的值已經是 1。因此，sum 的新值為 1+1 = 2。
  • ft 的值已更改並增加了 2，因此 ft 的新值為 1+2 =3。
  • j 的值增加 1，變成 2。for 迴圈條件為真，因為 j 等於 i。
  • ft 的值將增加到 sum。sum 的值已經是 2。因此，sum 的新值為 2+3 = 5。
  • ft 的值已更改並增加了 2，因此 ft 的新值為 3+2 =5。
  • 迴圈存在
• 現在 i 的值增加 1，變成 3，因此 i=3，條件 i<= n 為假，因此退出迴圈。
• 在螢幕上列印 sum 的訊息和值。

數學解

透過找到該問題的數學解並編寫程式碼，將大大簡化我們的程式碼。

設該系列的一般項 T_n  為

在進一步進行之前，我們應該知道 1+3+5+7+9…..(2n-1) 系列的總和是 n^2, 系列

1²+2²+3²+4²….n²  的總和是 i²   =

說明我們程式碼工作原理的程式

例項

線上演示

#include<stdio.h>

int calcSum(int n){
   // required sum
   return (( (n) * (n + 1) * (2*n + 1 ) )/6 ) ;
}

int main(){
int n = 35;
   printf("The sum of the series upto %d is %d ", n , calcSum(n));

}

輸出

The sum of the series upto 35 is 14910

上述程式碼的工作原理： 

例如，讓我們假設使用者輸入了 n 的值為 2，那麼 2n-1 的值是 3，系列變成 1+ (1+3)。

但讓我們透過程式碼理解並獲取總和。

• 使用 2 的值呼叫函式 sum()。
• 函式將  的值計算為 5，並將其返回給 main 函式。
• 帶著答案的訊息將列印在螢幕上。

sudhir sharma

更新於： 2021 年 1 月 27 日

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