標量積與向量積
介紹
標量積可以用數值或大小來衡量,而向量積則用大小和方向來描述。根據物理學規則,一個標量和兩個向量可以相乘,形成兩種型別的積。標量積和向量積都用於定義能量和所做的功,尤其是在能量關係中。
標量積和向量積的定義
標量積可以定義為一種代數運算,它涉及兩個長度相等的數字序列,結果每次只返回一個結果。這個積可以透過將一個向量向另一個向量的某個方向的分量與另一個向量的大小相乘來求得 (Pellicer & Sola-Morales, 2019)。距離、質量、體積、能量和長度等都是標量積的例子。
圖1:標量積
用數學方程式表示標量積,公式為“$\mathrm{\vec{A}.\vec{B} \:= \:|\vec{A}| |\vec{B}|\: cos \:\phi}$”。在這個公式中,$\mathrm{|\vec{A}|}$ 是向量 A 的大小,$\mathrm{|\vec{B}|}$ 是向量 B 的大小,$\mathrm{\phi}$ 是向量 A 和向量 B 之間的角度。在解釋物理學中的標量時,標量積也定義為兩個向量的點積。向量$\mathrm{(^\vec{})}$可以定義為具有大小和方向的物件。向量積可以用表示大小長度和方向的箭頭來表示。向量通常從尾部指向頭部,具有其大小。通常,向量積由於與三維空間的結合,也稱為面積積或叉積。
圖2:向量積
向量通常表示為“$\mathrm{\vec{a} \:x \:\vec{b}}$”,其中積的結果垂直於原始向量。為了演示向量積,物理學中使用公式“$\mathrm{\vec{A} \:x \:\vec{B}\: =\: |\vec{A}||\vec{B}|sinθn}$”。在這個公式中,$\mathrm{|\vec{A}|}$ 是向量 A 的大小,$\mathrm{|\vec{B}|}$ 是向量 B 的大小,θ是向量 A 和向量 B 之間的角度,最後 n 是垂直於向量 A 和向量 B 的單位向量 (Hyperphysics, 2022)。
標量積和向量積的性質
標量積有一些獨特的性質,使其在即時應用中非常有用。首先,就標量積而言,方程式中兩個向量之間的角度方向沒有任何意義。它只能從一個向量測量到另一個向量,因為$\mathrm{cos\:\theta \: = \: cos \:(-\theta) \: = \: cos\:\theta (2\pi - \theta)}$。標量積中的角度大於90°,小於或等於180°時,積為負值。因此,標量積的數學方程為$\mathrm{90^{\circ}\:\lt\: \theta \:\lt\: = \:180^{\circ}}$。
另一方面,向量積有兩個顯著的性質,使其與標量積區別開來。首先,大多數向量積都基於右手螺旋定則來獲得即時所需的正確方向 (Sun *et al.*, 2021)。最重要的是,向量積是非交換的,這可以從其數學方程$\mathrm{\vec{b}\:x\:\vec{a}\:=\:-a\:x\:\vec{b}}$中得出。
圖3:三維向量
向量積的另一個重要性質是它對加法的分配性。這一特性與標量積的特性相同,這可以在點積中看到。向量也包含基於點積的閘道器的三維結構 (Thefactfactor, 2022)。最後,可以說,當向量的方向在即時改變時,向量積可以改變,但仍然是等價的。
標量積和向量積的區別
儘管標量積和向量積之間存在著內在的聯絡,但它們卻截然不同。第一個區別出現在積的表示中,標量積用點表示,向量積用叉表示。此外,標量積的關係定義為“$\mathrm{\vec{A}.\vec{B}\:=\:AB\:Cos\:\theta}$”,向量積定義為“$\mathrm{\vec{A}\:\times\:\vec{B}\:=\:AB\:Sin\:\theta}$”。
最重要的是,標量積遵循交換律,而向量積則完全不服從交換律。最後,標量積彼此垂直,值為 A.B = 0 (Geeksforgeeks, 2022)。另一方面,向量積彼此平行,值為“$\mathrm{\vec{A}x \:\vec{B} = 0}$”。
結論
標量積可以定義為一次對兩個向量的乘法運算。另一方面,向量積用於定位空間中某點相對於空間中另一點的特定位置。儘管它們有相似之處和內在的聯絡,但這些積在即時應用中用不同的數學方程式來表示。
常見問題
Q1. 標量積和向量積之間有什麼關係?
A1. 標量積和向量積常用於工程和物理學,因為它們都可以在數學乘法後使用。在某種程度上,標量積是基於即時的向量,所以它們之間建立的關係是基於功和能量的。
Q2. 向量在即時應用中的用途是什麼?
A2. 向量對於透過附加規則表示方向和大小至關重要。在定義速度方面,它在概述即時速度的大小方面起著關鍵作用。
Q3. 標量積和向量積是如何表示的?
A3. 根據其獨特的特性,標量積稱為點積,向量積稱為叉積。因此,標量積用點(.)表示,向量積用叉(x)表示。