多項式的根

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介紹

許多代數表示式組合在一起構成多項式。它們可以包含常數、變數和指數，或者說是冪。

當我們考慮多項式的任何表示式時，變數的冪都是正整數，而不是分數。

多項式不包含變數的平方根或變數的負冪。

多項式的係數是乘以變數的數字。

不包含任何變數的數字，或者說是乘以冪為零的變數的數字，稱為多項式的**常數**。

多項式的次數是多項式中任何變數的最高冪。

多項式的項是多項式的每個部分，它們由加法或減法運算隔開。

多項式在現實生活中有著廣泛的應用。在本教程中，我們將學習多項式、多項式的根和多項式的因式。

多項式

多項式是一個數學表示式，或者說是代數表示式，它包含一個或多個具有非零係數的項。多項式的首項是多項式的第一項。

如果多項式的第一項具有最高次冪，並且後續項的次冪按變數指數的降序排列，以及常數項，則該多項式稱為**標準多項式**。

多項式的通式為：

$\mathrm{P(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{j=0}^k\:\:b_{j}x^{j}\:=\:b_{0}x^{0}\:+\:b_{1}x^{1}\:+\:b_{2}x^{2}\:+\:...........\:+\:b_{k\:-\:2}x^{k\:-\:2}\:+\:b_{k\:-\:1}x^{k\:-\:1}\:+\:b_{k}x^{k}}$

根據多項式的次數和項數，多項式分為兩種型別。

根據多項式的次數，它們主要分為七種型別，即六次多項式、五次多項式、四次多項式、三次多項式、二次多項式、一次多項式、零多項式和常數多項式。

多項式型別	多項式次數	例子
六次多項式	6	$\mathrm{5x^{6}\:+\:3x^{5}\:-\:x^{4}\:-\:7}$
五次多項式	5	$\mathrm{x^{5}\:-\:2x^{4}\:+\:x^{3}\:+\:9x^{2}\:-\:32}$
四次多項式	4	$\mathrm{42x^{4}\:+\:23x^{3}\:+\:12x^{2}\:-\:11x\:-\:20}$
三次多項式	3	$\mathrm{9x^{3}\:+\:15x^{2}\:+\:8x\:-\:8}$
二次多項式	2	$\mathrm{7x^{2}\:-\:x\:-\:21}$
一次多項式	1	$\mathrm{6x\:+\:42}$
零多項式	0	0
常數多項式	0	$\mathrm{23x^{0}}$

根據多項式中的項數，它們主要分為四種類型，即四項式、三項式、二項式和單項式。

多項式型別	項數	例子
四項式	4	$\mathrm{7x^{3}\:+\:x^{2}\:+\:x\:-\:5}$
三項式	3	$\mathrm{6x^{4}\:+\:12x\:+\:78}$
二項式	2	$\mathrm{4x^{2}\:-\:120}$
單項式	1	$\mathrm{45x\:(或)\:15x\:+\:30x}$

多項式的根

多項式𝑃(𝑥)的解稱為多項式的根或零點。

在多項式$\mathrm{p(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{j=0}^k\:\:b_{j}x^{j}}$中，多項式𝑃(𝑥)的根只是變數𝑏的值，對於該值，多項式

簡單來說，如果𝑏是多項式𝑃(𝑥)的根，則𝑃(𝑏)等於零。求一次多項式$\mathrm{P(x)\:=\:bx\:+\:d}$的根的公式為：

$$\mathrm{x\:=\:-\:\frac{d}{b}}$$

求二次多項式$\mathrm{P(x)\:=\:bx^{2}\:+\:cx\:+\:d}$的根的公式為：

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-c\:\pm \sqrt{c^{2}\:-\:4bd}}{2b}}$$

因此，可以使用公式求得多項式𝑥的根。

多項式的因式

將多項式的根寫成次數為一的因式形式，稱為多項式的因式。

如果4是多項式𝑃(𝑥)的根，則𝑃(𝑥)的因式寫成$\mathrm{x\:+\:4}$

據說多項式的次數和多項式的因式個數相等。

例題

1. 多項式$\mathrm{P(x)\:=\:x^{2}\:+\:12x\:+\:32}$，求𝑃(𝑥)的根。

解：

令$\mathrm{P(x)\:=\:0}$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:12x\:+\:32\:=\:0}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-c\:\pm \sqrt{c^{2}\:-\:4bd}}{2b}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-12\:\pm \sqrt{(12)^{2}\:-\:4(1)(32)}}{2(1)}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-12\:\pm \sqrt{144\:-\:128}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-12\:\pm \:4}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-12\:+\:4}{2}\:,\:\frac{-12\:-\:4}{2}}$$

$$\mathrm{\frac{-8}{2}\:,\:\frac{-16}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:-4\:,\:-8}$$

𝑥的值為−4和−8。

因此，給定多項式$\mathrm{P(x)}$的根為−4和−8。

2. 如果給定一個二次多項式$\mathrm{P(x)\:=\:x^{2}\:+\:7x\:+\:10}$，求$\mathrm{P(x)}$的因式。

解：

令𝑃(𝑥) = 0

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:7x\:+\:10\:=\:0}$$

$$\mathrm{\mathrm{x^{2}+\:5x\:+\:2x\:+\:10\:=\:0}}$$

$$\mathrm{x(x\:+\:5)\:+\:2(x\:+\:5)\:=\:0}$$

$$\mathrm{(x\:+\:5)(x\:+\:2)\:=\:0}$$

因此，給定多項式$\mathrm{P(x)}$的因式為$\mathrm{(x\:+\:5)}$和$\mathrm{(x\:+\:2)}$。

在給定的多項式中，多項式的次數和多項式的因式個數為2。

3. 多項式$\mathrm{P(x)\:=\:x^{2}\:+\:16x\:+\:63\:=\:0}$，求𝑃(𝑥)的根。

解：

令𝑃(𝑥) = 0

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:16x\:+\:63\:=\:0}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-c\:\pm \sqrt{c^{2}\:-\:4bd}}{2b}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:\pm \sqrt{(16)^{2}\:-\:4(1)(63)}}{2(1)}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:\pm \sqrt{256\:-\:252}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:\pm \sqrt{4}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:\pm \:2}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:+\:2}{2}\:,\:\frac{-16\:-\:2}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-14}{2}\:,\:\frac{-18}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:-7\:,\:-9}$$

𝑥的值為−7和−9。

因此，給定多項式𝑃(𝑥)的根為−7和−9。

4. 如果多項式為$\mathrm{22x\:-\:44}$，求𝑃(𝑥)的根。

解：

令𝑃(𝑥) = 0

$$\mathrm{22x\:-\:44\:=\:0}$$

$$\mathrm{22x\:=\:44}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{44}{22}}$$

𝑥 = 2是給定多項式的根。

5. 多項式$\mathrm{P(x)\:=\:x^{2}\:+\:15x\:+\:54}$，求𝑃(𝑥)的因式。

解：

令𝑃(𝑥) = 0

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:15x\:+\:54\:=\:0}$$

$$\mathrm{x^{2}\:+\:9x\:+\:6x\:+\:54\:=\:0}$$

$$\mathrm{x(x\:+\:9)\:+\:6(x\:+\:9)\:=\:0}$$

$$\mathrm{(x\:+\:9)(x\:+\:6)\:=\:0}$$

因此，給定多項式$\mathrm{P(x)}$的因式為$\mathrm{(x\:+\:9)}$和$\mathrm{(x\:+\:6)}$。

6. 確定給定多項式的型別：

• $\mathrm{3x^{5}\:-\:66}$

• $\mathrm{7x^{6}\:+\:12x^{3}\:+\:8x^{2}\:-\:54}$

• $\mathrm{x^{2}\:-\:11x\:-\:30}$

• $\mathrm{32x\:+\:4}$

解：

A	$\mathrm{3x^{5}\:-\:66}$	五次多項式
B	$\mathrm{7x^{6}\:+\:12x^{3}\:+\:8x^{2}\:-\:54}$	六次多項式
C	$\mathrm{x^{2}\:-\:11x\:-\:30}$	二次多項式
D	$\mathrm{32x\:+\:4}$	一次多項式

結論

• 多項式是一個或多個具有非零係數的項的代數表示式。

• 如果多項式𝑃(𝑥)的根為b，則𝑃(𝑏)等於零。

• 多項式𝑃(𝑥)的解稱為多項式的根或零點。

• 多項式的次數是多項式中任何變數的最高冪。

• 多項式的次數和多項式的因式個數相等。

常見問題

1. 給出多項式的一些現實生活中的應用？

• 多項式用於建築物的建造。

• 它們廣泛用於安全措施，例如預測網際網路和道路上的交通模式。

• 藉助多項式可以找到某些細菌的生長情況。

• 它們可以應用於經濟生產。

• 它們的貢獻包括股票交易、市場營銷和金融。

2. 多項式在科學中的應用是什麼？

• 用於確定人和動物的種群增長。

• 用於發現動物的出生率和死亡率。

• 計算森林中砍伐的樹木數量，並透過重新種植來平衡。

• 管理農業用地。

• 確定某些分子組成。

3. 誰被稱為多項式的鼻祖？

希臘數學家亞歷山大的丟番圖被稱為多項式的鼻祖。他是名為《算術》的一系列書籍的作者。他的作品處理求解代數方程。他的一些貢獻包括丟番圖方程和丟番圖逼近。

4. 什麼是代數表示式？

包含變數和常數以及數學運算的表示式稱為代數表示式。也可以說它們是由整數變數和常數構成的。代數項構成代數表示式。

例如，3x² - 7x + 9

5. 多項式的因式分解是什麼意思？

如果將一個多項式分解成其因式的乘積，或者說是較小多項式的乘積，則此過程稱為多項式的因式分解。透過多項式的因式分解，我們可以找到多項式的因式。