算術平均數、幾何平均數和調和平均數之間的關係

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介紹

算術平均數 (AM)、幾何平均數 (GM) 和調和平均數 (HM) 之間的關係表示為 $\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$ 。在學習數學中的數列時，我們也會遇到 AM、GM 和 HM 之間的關係。這三個代表相應數列的平均值。算術平均數 (AM)、幾何平均數 (GM) 和調和平均數 (HM) 都是平均值的縮寫。算術級數、幾何級數和調和級數的平均值分別由 AM、GM 和 HM 表示。在學習它們之間的關係之前，應該熟悉這三種平均數及其公式。

什麼是算術級數？

算術級數 (AP) 可以用兩種方式定義：

• 每一對相鄰項之間差值相同的數列稱為算術級數。

• 算術級數是一個序列，其中除第一項外，每一項都是透過將前一項加上一個預定的值得到的。

例如，2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 和 26 的

• a = 2 (第一項)

• d = 3 (項之間的“公差”)

算術數列通常寫成如下形式：{ a, a+d, a+2d, a+3d,... } 等。使用上面給出的例子，得到以下等式：$\mathrm{\lbrace\:a\:,\:a\:+\:d\:,\:a\:+\:2d\:,\:a\:+\:3d\:.....\rbrace\:=\:\lbrace\:2\:,\:2\:+\:3\:,\:2\:+\:2\times\:3\:,\:2\:+\:3\times\:3\:......\rbrace\:=\:\lbrace\:2\:,\:5\:,\:8\:,\:11\:......\rbrace}$

什麼是算術平均數？

算術平均數也稱為平均數或算術平均值。它是透過將特定資料集中的每個數字加起來，然後將結果除以資料集中專案的總數來確定的。對於均勻分佈的整數，中間數作為算術平均數 (AM)。

如果算術級數或一組值為 $\mathrm{a_{1}\:,\:a_{2}\:,\:a_{3}\:......\:a_{n}}$

那麼

$$\mathrm{AM\:=\:\frac{(a_{1}\:+\:a_{2}\:+\:a_{3}\:........\:+\:a_{n})}{n}}$$

讓我們舉個例子，給定的 AM 數列是 {4, 6, 8, 10, 12}。為了求算術平均數，我們將求 AM 數列的和，即 {4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40}，然後將其除以數列中的值的數量，即 {n = 5}。因此，算術平均數是 40/5 = 8

什麼是幾何級數？

幾何級數是一種特殊的級數，其中相鄰項的公比始終相同。它也稱為 GP。GP 的一般表示形式為 $\mathrm{a\:,ar\:,\:ar^{2}}$，其中 r 是級數的公比，'a' 是第一項。公比可以是負值也可以是正值。

例如：公比為 3 的 GP 為 1, 3, 9, 27, 81 等。

為了找到 GP 的第 $\mathrm{n^{th}}$ 項，我們可以使用以下公式：

$$\mathrm{a_{n}\:=\:ar^{n\:-\:1}}$$

其中

• a 是 GP 的第一項

• r 是公比

• n 是 GP 數列中的值的數量。

什麼是幾何平均數？

幾何平均數 (GM) 是平均值或平均數，它透過對一組數字的值取乘積的根來表示該組的集中趨勢。本質上，其中 n 是值的總數，我們將所有 'n' 個值相乘，然後減去這些數字的 $\mathrm{n^{th}}$ 根。

如果幾何級數或一組值為 $\mathrm{a^{1}\:,\:a^{2}\:,\:a^{3}\:,\:......\:a^{n}}$

那麼

$$\mathrm{GM\:=\:\sqrt[n]{(a^{1}\times\:a^{2}\times\:a^{3}\times\:......\times\:a^{n})}}$$

或者

$$\mathrm{GM\:=\:(a^{1}\times\:a^{2}\times\:a^{3}\times\:......\times\:a^{n})^{1\:/\:n}}$$

例如，GP 數列 {6, 12} 的幾何平均數等於 $\mathrm{\sqrt{(6\times\:12)}\:=\:\sqrt{72}\:=\:6\sqrt{2}}$

什麼是調和級數？

調和級數是使用算術級數中項的倒數建立的。如果提供的算術級數項為 a, a + d, a + 2d, a + 3d,....，則調和級數的項為 1/a, 1/(a + d), 1/(a + 2d), 1/(a + 3d), 1/(a + 4d) 等。這裡，第一項是 a，公差是 d。a 和 d 的值都不為零。

為了找到 HP 的第 $\mathrm{n^{th}}$ 項，我們可以使用以下公式：

$$\mathrm{a_{n}\:=\:\frac{1}{(a\:+\:(n\:-\:1)d)}}$$

其中，

• “a”是 AP 的第一項

• “d”是公差

• “n”是 AP 中的項數

什麼是調和平均數？

調和平均數是集中趨勢的度量。考慮一下我們希望識別單個值的情況，該值可用於表徵圍繞中心值的資料行為。然後，此類值稱為集中趨勢度量。

如果一組觀測值由 $\mathrm{h_{1}\:,\:h_{2}\:,\:h_{3}\:......\:h_{n}}$ 給出。該資料集的倒數項為 $\mathrm{1/h_{1}\:,\:1/h_{2}\:,\:1/h_{3}\:......1/h_{n}}$。因此，調和平均數公式如下：

$$\mathrm{HM\:=\:\frac{n}{(\frac{1}{h_{1}}\:+\:\frac{1}{h_{2}}\:+\:.......\:+\:\frac{1}{h_{n}})}}$$

例如，HP 數列 {1/6, 1/8, 1/10} 的調和平均數等於 3/(1/6 + 1/8 + 1/10) = 3/(1/6 + 1/8 + 1/10) = 7.2

這三種平均數之間是什麼關係？

可以利用 AM 的結果大於 GM 和 HM 的結果的論點來理解 AM、GM 和 HM 之間的關係。可以使用以下表達式來表示 AM、GM 和 HM 之間的關係。

$$\mathrm{AM\:>\:GM\:>\:HM}$$

AM、GM 和 HM 之間的關係公式為

$$\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$$

現在讓我們看看如何推匯出這個公式以更好地理解。

假設我們有一個算術級數 a, AM, b

這裡，公差是

$$\mathrm{AM\:-\:a\:=\:b\:-\:AM}$$

$$\mathrm{a\:+\:b\:=\:2AM\:..........(i)}$$

現在假設我們有一個幾何級數 (GP)

公比為 $\mathrm{GM/a\:=\:b/GM}$

$$\mathrm{ab\:=\:GM^{2}\:.......(ii)}$$

接下來，調和級數 a, HM, b，這些項的倒數將構成一個算術級數，即

$$\mathrm{1/a\:,\:1/HM\:,\:1/b}$$

公差為

$$\mathrm{1/HM\:-\:1/a\:=\:1/b\:-\:1/HM}$$

$$\mathrm{2/HM\:=\:1/a\:+\:1/b}$$

$$\mathrm{2/HM\:=\:(a\:+\:b)/ab\:........(iii)}$$

現在將方程 (i) 和方程 (ii) 代入方程 (iii)。

$$\mathrm{2/HM\:=\:2AM/GM^{2}}$$

$$\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$$

這就是我們得到 AM、GM 和 HM 之間關係的方式。

解題示例

1) 如果調和平均數 (HM) 為 56/9，算術平均數 (AM) 為 9，則確定幾何平均數 (GM) 值。

答案：

給定 AM（算術平均數）− 9

給定 HM（調和平均數）− 56/9

我們必須找到幾何平均數。

為此，我們可以使用 AM、GM 和 HM 之間的關係公式

$$\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$$

$$\mathrm{9\times\:56/9\:=\:GM^{2}}$$

$$\mathrm{GM^{2}\:=\:56}$$

$$\mathrm{GM\:=\:\sqrt{56}}$$

$$\mathrm{GM\:=\:2\sqrt{14}}$$

因此，$2\sqrt{14}$ 是所需的幾何平均數。

結論

• 算術平均數是透過將特定資料集中的每個數字加起來，然後將結果除以資料集中專案的總數來確定的。

$$\mathrm{AM\:=\frac{(a_{1}\:+\:a_{2}\:+\:a_{3}\:.......\:+\:a_{n})}{n}}$$

• 幾何級數是一種特殊的級數，其中相鄰項的公比始終相同。

• 幾何平均數 (GM) 是平均值或平均數，它透過對一組數字的值取乘積的根來表示該組的集中趨勢。$\mathrm{GM\:=\:\sqrt[n]{(a^{1}\times\:a^{2}\times\:a^{3}\times\:......\times\:a^{n})}}$

• 調和級數是使用算術級數中項的倒數建立的。

• 調和平均數是集中趨勢的度量。$\mathrm{HM\:=\:\frac{n}{(\frac{1}{h_{1}}\:+\:\frac{1}{h_{2}}\:+\:.....\:+\:\frac{1}{h_{n}})}}$

• 算術平均數 (AM)、幾何平均數 (GM) 和調和平均數 (HM) 之間關係的公式。

$$\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$$

常見問題

1. AM 和 GM/HM 之間有什麼關係？

方程 $\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$ 可以用來表示 AM、GM 和 HM 之間的關係。這裡，幾何平均數的平方等於算術平均數 (AM) 和調和平均數 (HM) 的乘積。

2. 在等差數列中，如何求 d？

為了確定等差數列中的 d，我們將確定等差數列中任意兩個連續項之間的差。

3. 幾何級數的公比是多少？

確定任何一項與其前一項的比率即可得到公比。例如，取等比數列 1、3、9。公比 R = 9/3 = 3。

4. 算術平均數在實踐中有什麼意義？

算術平均數用於衡量集中趨勢。透過考慮所有資料，它使我們能夠確定頻率分佈的中心。

5. 調和級數的公式是什麼？

求調和級數的第 n 項是調和級數公式的定義。調和級數的第 n 項等於 $\mathrm{1/(a\:+\:(n\:-\:1)d)}$。