對數的性質

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介紹

• 對數只是表達指數的另一種方式，可以用來解決僅靠指數概念無法解決的問題。

• 在數學中，對數函式性質用於解決對數問題。

• 除法將最終數字作為被除數，確定加法的次數。也許現在你可以理解指數和對數與乘法和除法有多麼相似。

• 你通常會在指數和對數中處理“底數”。

• 指數的“底數”將與對數的底數相同。

• 你已經學習了許多基本的數學性質，例如可以應用於代數的交換律和分配律。在本教程中，我們將討論對數的性質。

對數

• 對數定義為需要將一個數提升到某個冪才能得到另一個值的冪。

• 對數只是表達指數的另一種方式，可以用來解決僅靠指數概念無法解決的問題。

• 理解對數並不困難。要理解對數，只需知道對數方程只是另一種寫指數方程的方式即可。

• 對數和指數互為逆運算。對數最初由一位名叫約翰·納皮爾的數學家引入，作為一種簡便的計算方法。這一概念很快被其他科學家、工程師和其他人所採用。

• 對數定義為需要將一個數提升到某個冪才能得到另一個值的冪。

• 表示大數最方便的方法。對數具有幾個重要的性質，證明對數的乘法和除法也可以用對數的加法和減法來描述。

• $\mathrm{\log_{b}{a}\:=\:y}$，這是關於底數b的a的對數。這裡，y是實數，a和b是兩個正實數，a在對數內部稱為真數，b在對數底部稱為底數。

讓我們來看一個例子

$\mathrm{2^{x}}$ 等價於取x個2，並將它們相乘。對數告訴你需要將底數相乘多少次才能得到該數。

例如：

$\mathrm{\log_{2}{x}}$ 計算需要將多少個2相乘才能得到x。使用實際數字可能會有所幫助。

$$\mathrm{2^{4}\:=\:16}$$

$$\mathrm{\log_{2}{16}\:=\:4}$$

兩者都處理這一系列乘法運算：$\mathrm{2\times\:2\times\:2\times\:2}$

對數規則

對數規則指的是對數運算規則。這些規則是從指數規則推匯出來的，因為對數是描述指數的另一種方式。對數公式用於將一組對數壓縮成單個對數，並將對數擴充套件成一組對數。對數公式是對數運算規則。由於對數是描述指數的另一種方式，因此我們使用指數規則來推匯出對數定律。主要有五個規則，主要陳述如下：

對數性質

積的性質

$$\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:\log_{a}{x}\:+\:\log_{a}{y}}$$

商的性質

$$\mathrm{\log_{a}{\frac{x}{y}}\:=\:\log_{a}{x}\:-\:\log_{a}{y}}$$

冪的性質

$$\mathrm{\log_{a}{x}^{m}\:=\:m\log_{a}{x}}$$

換底公式

$$\mathrm{\log_{b}{c}\:=\:\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}}$$

倒數性質

$$\mathrm{\log_{n}{m}\:=\:\frac{1}{\log_{m}{n}}}$$

對數公式對於所有對數（包括自然對數）都是相同的。自然對數是以“e”為底的對數。它用“ln”表示。即$\mathrm{\log_{e}\:=\:ln}$。也就是說，它不寫自然對數的底數。如果你看到“ln”，你就可以自動看出它的底數是“e”。

對數的性質

對數是描述指數的另一種方式。對數定義為需要將一個數提升到某個冪才能得到另一個值的冪。表示大數最方便的方法。對數具有幾個重要的性質，證明對數的乘法和除法也可以用對數的加法和減法來描述。

對數性質是：

積的性質

假設：

$$\mathrm{x\:=\:a^{n}\:and\:y\:=\:a^{m}}$$

則等效的對數形式為：

$$\mathrm{\log_{a}{x}\:=\:n\:\:and\:\:\log_{a}{y}\:=\:m\:...............(1)}$$

使用指數的第一個規則：

$$\mathrm{xy\:=\:a^{n}\:\times\:a^{m}\:=\:a^{n\:+\:m}}$$

現在語句$\mathrm{xy\:=\:a^{n\:+\:m}}$的對數形式是$\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:m\:+\:n}$

但是根據(1)，$\mathrm{n\:=\:\log_{a}{x}\:and\:m\:=\:\log_{a}{x}}$，因此將這些結果放在一起，我們得到：

$$\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:\log_{a}{x}\:+\:\log_{a}{y}}$$

商的性質

和前面一樣，假設：

$$\mathrm{x\:=\:a^{n}\:and\:y\:=\:a^{m}}$$

具有等效的對數形式：

$$\mathrm{\log_{a}{x}\:=\:n\:and\:\log_{a}{y}\:=\:m\:\:.........{2}}$$

考慮$\mathrm{x\:\div\:y}$。

$$\mathrm{\frac{x}{y}\:=\:a^{n}\:\div\:a^{m}}$$

$$\mathrm{=\:a^{n\:-\:m}}$$

使用指數規則。

對數形式$\mathrm{\log_{a}\frac{x}{y}\:=\:n\:-\:m}$

根據(2)可以寫成：

$\mathrm{\log_{a}\frac{x}{y}\:=\:\log_{a}x\:-\:\log_{a}y}$

這就是商的性質。

換底公式

$\mathrm{\log_{b}{c}\:=\:\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}}$

倒數性質

$$\mathrm{\log_{n}{m}\:=\:\frac{1}{\log_{m}{n}}}$$

對數的用途

對數在數學學習的早期就教授，因為它有大量的應用。我將列舉一些應用，但請記住，還有許多其他應用取決於你正在解決的問題的上下文。不僅如此，在評估極限、導數甚至積分的過程中，通常也需要對數。

這些只是一些應用，但在應用題中你主要會用到這些。

• 化學中的pH值。pH值可能非常小，因此使用以10為底的對數來建立非常小值的範圍。

• 銀行的利息。

• 放射性物質的半衰期。

• 推導電容器的電荷。

• 響度的範圍，這與pH值遵循相同的邏輯。

例題

例1 − $\mathrm{x\:=\:\log_{2}{8}}$

解 − $\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:8\:=\:2^{x}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:8\:=\:2\:\times\:2\:\times\:2\:\times\:2}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:8\:=\:2^{3}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:=\:3}$

例2 − $\mathrm{\log_{8}{128}\:+\:\log_{8}{4}}$

解 $\mathrm{\log_{8}{128}\:+\:\log_{8}{4}\:=\:\log_{8}{128\:\times\:4}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\log_{8}{512}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:因為\:512\:=\:8^{3}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\log_{8}{512}\:=\:3}$。

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:所以\:,\:\log_{8}{128}\:\log_{8}{4}\:=\:3}$。

例3 − $\mathrm{\log\:{x}\:=\:2\log{5}\:+\:\log{6}\:-\:\log{3}}$

解 − $\mathrm{log\:x\:=\:\log5^{2}\:+\:\log6\:-\:\log3}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:log\:x\:=\:\log(5^{2}\:\times\:6)\:-\:\log3}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:log\:x\:=\:\log\:(\frac{5^{2}\:\times\:6}{3})\:=\:\log50}$

例4 − 將$\mathrm{\log_{7}{96}}$ 寫成兩個對數的和。

解 − $\mathrm{\log_{7}{96}\:=\:\log_{7}\:(3\:\times\:32)}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\log_{7}{3}\:+\:\log_{7}{32}}$

例5 − 在$\mathrm{7^{x}\:=\:54}$ 中求x。

解 − $\mathrm{x\:=\:\log_{7}{54}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:=\:\frac{\log{54}}{\log{7}}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:=\:2.0499}$

結論

對數性質用於將多個對數項壓縮成單個對數項，或將單個對數項擴充套件成多個對數項。對數是表示指數的另一種方式。因此，對數性質是從指數性質推匯出來的。

積的性質

$$\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:\log_{a}{x}\:+\:\log_{a}{y}}$$

商的性質

$$\mathrm{\log_{a}{\frac{x}{y}}\:=\:\log_{a}{x}\:-\:\log_{a}{y}}$$

冪的性質

$$\mathrm{\log_{a}{x}^{m}\:=\:m\log_{a}{x}}$$

換底公式

$$\mathrm{\log_{b}{c}\:=\:\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}}$$

倒數性質

$$\mathrm{\log_{n}{m}\:=\:\frac{1}{\log_{m}{n}}}$$

常見問題

1. 1的對數是多少？

任何底數的1的對數都是0。

2. loge中的“e”是什麼意思？

符號e稱為指數常數，其值約等於2.718。

3. 你所說的對數是什麼意思？

對數定義為需要將一個數提升到某個冪才能得到另一個值的冪。

4. log和ln有什麼區別？

以10為底的對數通常寫成log，以e為底的對數寫成ln。

5. 寫出對數性質。

• $\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:\log_{a}{x}\:+\:\log_{a}{y}}$

• $\mathrm{\log_{a}{\frac{x}{y}}\:=\:\log_{a}{x}\:-\:\log_{a}{y}}$

• $\mathrm{\log_{a}{x}^{m}\:=\:m\log_{a}{x}}$

• $\mathrm{\log_{b}{c}\:=\:\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}}$

• $\mathrm{\log_{n}{m}\:=\:\frac{1}{\log_{m}{n}}}$