Python程式：計算爬樓梯的方案數（最多k次最大步數）

假設我們有一個n階樓梯，還有一個數字k。我們最初位於第0階樓梯，每次可以向上爬1、2或3階。但是我們最多隻能爬3階k次。現在我們要找到爬到樓梯頂端的方案數。

例如，如果輸入n = 5，k = 2，則輸出為13，因為有不同的方法可以爬樓梯。

  • [1, 1, 1, 1, 1]
  • [2, 1, 1, 1]
  • [1, 2, 1, 1]
  • [1, 1, 2, 1]
  • [1, 1, 1, 2]
  • [1, 2, 2]
  • [2, 1, 2]
  • [2, 2, 1]
  • [1, 1, 3]
  • [1, 3, 1]
  • [3, 1, 1]
  • [2, 3]
  • [3, 2]

為了解決這個問題，我們將遵循以下步驟：

  • 如果n等於0，則
    • 返回1
  • 如果n等於1，則
    • 返回1
  • k := min(k, n)
  • memo := 一個大小為(n+1) x (k+1) 的矩陣
  • 對於r從0到k，執行
    • memo[r, 0] := 1, memo[r, 1] := 1, memo[r, 2] := 2
  • 對於i從3到n，執行
    • memo[0, i] := memo[0, i-1] + memo[0, i-2]
  • 對於j從1到k，執行
    • 對於i從3到n，執行
      • count := i / 3 的商
      • 如果 count <= j，則
        • memo[j, i] := memo[j, i-1] + memo[j, i-2] + memo[j, i-3]
      • 否則，
        • memo[j, i] := memo[j, i-1] + memo[j, i-2] + memo[j-1, i-3]
  • 返回 memo[k, n]

讓我們看下面的實現來更好地理解：

示例

線上演示

class Solution:
   def solve(self, n, k):
      if n==0:
         return 1
      if n==1:
         return 1
         k= min(k,n)
         memo=[[0]*(n+1) for _ in range(k+1)]
         for r in range(k+1):
            memo[r][0]=1
            memo[r][1]=1
            memo[r][2]=2
            for i in range(3,n+1):
               memo[0][i]=memo[0][i-1]+memo[0][i-2]
               for j in range(1,k+1):
                  for i in range(3,n+1):
                     count = i//3
                     if count<=j:
                        memo[j][i]=memo[j][i-1]+memo[j][i-2]+memo[j][i-3]
                     else:
                        memo[j][i]=memo[j][i-1]+memo[j][i-2]+memo[j-1][i-3]
         return memo[k][n]
ob = Solution()
print(ob.solve(n = 5, k = 2))

輸入

5, 2

輸出

13

更新於：2020年10月5日

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