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法律研究排列組合（概念、示例、C++程式）
排列和組合指的是數學中物件排列的順序。
排列 - 在排列中，順序很重要。因此，以特定順序排列物件稱為排列。
排列分為兩種型別：
重複排列
假設我們要生成一個三位數的程式碼。一些可能的數字是 123、897、557、333、000 和 001。那麼我們可以生成多少個這樣的數字呢？
讓我們這樣來看：
在個位數上，我們有十個選項 - 0-9
同樣，在十位和百位上，我們也有十個選項。0-9。
因此，我們擁有的總選項數為 10*10*10 = 1000。
所以，我們可以使用數字的重複生成 1000 種不同的排列。
泛化 - 如果我們有 n 個選擇和 r 個位置需要填充，我們可以生成 n*n*n…(r 次) 個排列。
因此，重複排列的公式為 nr。
不重複排列
現在，我們必須生成一個不重複數字的三位數程式碼。
例如，123、019、345、876 等。
在個位數上，我們有十個選項 - 0-9。
在十位數上，我們有九個選項 - 0-9（不包括個位數的數字）
在百位數上，我們有八個選項。
因此，我們擁有的總選項數為 8*9*10。
階乘
一個數的階乘是指小於或等於該數的所有正整數的乘積。
它用數字後面的感嘆號表示。
例如：
1! = 1. 2! = 2*1 = 2. 3! = 3*2*1 = 6. 4! = 4*3*2*1 = 24. OR 4! = 4*3! = 24 Hence n! = n*(n-1)!
現在，如果我們想計算 10*9*8，我們可以寫成：
$$\frac{10!}{\lgroup 10-3\rgroup!}=\frac{10!}{7!}$$
$$=\frac{10*9*8*7!}{7!}$$
$$=10*9*8$$
因此，我們可以將不重複排列的數表示為：
$$\frac{n!}{\lgroup n-r\rgroup!}$$
其中我們需要從總共 n 個事物中選擇 r 次。
符號
$$P\lgroup n,r\rgroup = nPr = nPr = \frac{n!}{\lgroup n-r\rgroup!}$$
需要記住的要點
nP0 = 1
nP1 = n
nPn-1 = n!
組合
在組合中，我們選擇專案，而順序無關緊要。我們可以將組合理解為從總共 n 個物件中取出 k 個物件，並且不重複。
示例
Consider that we want to place ‘123’ in some order. The possibilities are 123, 132, 321, 312, 213, and 231. That is, there are 3! = 3*2*1 = 6 possibilities.
現在，如果順序無關緊要，則只有一種可能性，即：選擇所有三個 '123' 並選擇它們。
公式
因此，我們調整排列公式以減少物件可以按順序排列的方式（因為我們不再關心它們的順序）：
$$\frac{n!}{r!\lgroup n-r\rgroup!}$$
其中 n 是要從中選擇的專案數，r 是我們選擇的專案數。順序無關緊要，並且不允許重複。
符號
$$C\lgroup n,r\rgroup = nCr = nCr =\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
示例問題
Q1. 在 MISSISSIPPI 中字母的不同排列中，有幾個排列四個 'I' 不在一起？
解決方案
Given word: – MISSISSIPPI M – 1 I – 4 S – 4 P – 2 Number of permutations = 11!/(4! 4! 2!) = (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/ (4! × 24 × 2) = 34650 Now, we will remove the permutations in which the four ‘I’(s) come together. We take that 4 I’(s) come together, and they are treated as 1 letter, ∴ Total number of letters=11 – 4 + 1 = 8 ⇒ Number of permutations = 8!/(4! 2!) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/ (4! × 2) = 840 Therefore, the total number of permutations where four 'I'(s) don’t come together = 34650 – 840 = 33810
Q2. 一個小組由 4 個女孩和 7 個男孩組成。如果團隊有：
沒有女孩
至少一個男孩和一個女孩
至少三個女孩
解決方案
Given, Number of girls = 7 Number of boys = 7
沒有女孩
Total number of ways the team can have no girls = 4C0 × 7C5 = 1 × 21 = 21
至少一個男孩和一個女孩
1 boy and 4 girls = 7C1 × 4C4 = 7 × 1 = 7 2 boys and 3 girls = 7C2 × 4C3 = 21 × 4 = 84 3 boys and 2 girls = 7C3 × 4C2 = 35 × 6 = 210 4 boys and 1 girl = 7C4 × 4C1 = 35 × 4 = 140 Total number of ways the team can have at least one boy and one girl = 7 + 84 + 210 + 140 = 441
至少三個女孩
Total number of ways the team can have at least three girls = 4C3 × 7C2 + 4C4 × 7C1 = 4 × 21 + 7 = 84 + 7 = 91
為了找到排列和組合，我們需要找到數字的階乘。因此，用於查詢數字的階乘的函式如下：
//Function to find the factorial of a number.
int factorial(int n) {
if (n == 0 || n == 1){
return 1;
}
//Recursive call
return n * factorial(n - 1);
}
示例
查詢不重複排列數的 C++ 程式
現在，我們可以利用上述函式和公式來計算排列和組合：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Function to find the factorial of a number.
int factorial(int n) {
if (n == 0 || n == 1){
return 1;
}
//Recursive call
return n * factorial(n - 1);
}
//Driver Code
int main() {
int n = 4, r = 2;
//Calculating the combinations using the formula
int combinations = factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r));
cout << "The number of Combinations is : " << combinations<<endl;
//Calculating the permutations using the formula
int permutations = factorial(n) / factorial(n-r);
cout << "The number of Permutations is : " << permutations<<endl;
return 0;
}
輸出
對於輸入 n=4、r=2，上述 C++ 程式將產生以下輸出：
The number of Combinations is : 6 The number of Permutations is : 12
結論
在這篇文章中，我們瞭解了排列和組合的概念。我們看到了公式、符號以及一些示例和示例問題。最後，我們還看到了 C++ 中的程式。
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