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法學利用合適的恆等式求解下列乘積
(i) \( (x+4)(x+10) \)
(ii) \( (x+8)(x-10) \)
(iii) \( (3x+4)(3x-5) \)
(iv) \( \left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right) \)
(v) \( (3-2x)(3+2x) \)
解題步驟
我們需要利用合適的恆等式來求解給定的乘積。
解題過程
我們知道：
$(p + a)(p+b) = p( p+ b) + a(p+b)$
$=p^2+pb+ap+ab$
$=p^2+p(a+b)+ab$
因此：
(i) \( (x+4)(x+10) \)
這裡，$p=x, a=4$ 且 $b=10$
這意味著：
$(x+4)(x+10) = x^2+x(4+10)+4\times10$
$=x^2+14x+40$
因此，$(x+4)(x+10)=x^2+14x+40$。
(ii) \( (x+8)(x-10) \)
這裡，$p=x, a=8$ 且 $b=-10$
這意味著：
$(x+8)(x-10) = x^2+x(8-10)+8\times(-10)$
$=x^2-2x-80$
因此，$(x+8)(x-10)=x^2-2x-80$。
(iii) \( (3x+4)(3x-5) \)
這裡，$p=3x, a=4$ 且 $b=-5$
這意味著：
$(3x+4)(3x-5) = (3x)^2+3x(4-5)+4\times(-5)$
$=9x^2+3x(-1)-20$
$=9x^2-3x-20$
因此，$(3x+4)(3x-5)=9x^2-3x-20$。
(iv) \( \left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right) \)
這裡，$p=y^2, a=\frac{3}{2}$ 且 $b=-\frac{3}{2}$
這意味著：
$(y^2+\frac{3}{2})(y^2-\frac{3}{2}) = (y^2)^2+y^2(\frac{3}{2}-\frac{3}{2})+\frac{3}{2}\times(-\frac{3}{2})$
$=y^4+y^2(0)-(\frac{3}{2})^2$
$=y^4-0-\frac{9}{4}$
$=y^4-\frac{9}{4}$
因此，$(y^2+\frac{3}{2})(y^2-\frac{3}{2})=y^4-\frac{9}{4}$。
(v) \( (3-2x)(3+2x) \)
這裡，$p=3, a=-2x$ 且 $b=2x$
這意味著：
$(3-2x)(3+2x) = 3^2+3(-2x+2x)+(-2x)\times(2x)$
$=9+3(0)-4x^2$
$=-4x^2+9$
因此，$(3-2x)(3+2x)=-4x^2+9$。
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