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法律研究如何用圓規畫45°角？
已知
給定的角度是 45°
要求
我們需要解釋如何畫 45° 角
解答
作圖步驟
1. 首先，畫一條以 O 為起點的射線 OA。
2. 以 O 為圓心，相同的半徑畫一個圓弧，該圓弧與 OA 相交於點 B。
3. 以 B 為圓心，與之前相同的半徑畫一個圓弧，與之前畫的圓弧相交於點 C。
4. 以 C 為圓心，與之前相同的半徑畫一個圓弧，與步驟 2 中畫的圓弧相交，設交點為 D。
5. 畫一條經過 C 點的射線 OE。則 ∠EOA = 60∘ 。
6. 畫一條經過 D 點的射線 OF。則 ∠ FOE = 60∘ 。
7. 接下來，以 C 和 D 為圓心，半徑大於 ½ CD，畫弧相交於點 G。
8. 畫射線 OG，它是 ∠FOE 的角平分線，即 ∠FOG = ∠EOG = 1/2 ∠FOE = 1/2 (60∘ ) = 30∘ 。
因此， ∠GOA = ∠GOE + ∠ EOA = 30∘ + 60∘ = 90∘。
9. 現在以 O 為圓心，任意半徑大於 OB，畫一個圓弧與射線 OA 和 OG 相交於 H 和 I。
10. 接下來，以 H 和 I 為圓心，半徑大於 1/2 HI，畫弧相交於點 J。
11. 畫射線 OJ。這條射線 OJ 就是所求的 ∠ GOA 的角平分線。
因此， ∠GOJ = ∠AOJ = 1/2 ∠GOA = 1/2(90∘) = 45∘。
證明
(i)連線 BC。
則，OC = OB = BC 三角形。（根據作圖）
∴ ∠COB 是等邊三角形。
∴ ∠COB = 60∘。
∴ ∠EOA = 60∘。
(ii)連線 CD。
則，OD = OC = CD （根據作圖）
∆DOC 是等邊三角形。
∴ ∠DOC = 60∘。
∴ ∠ FOE = 60∘。
(iii)連線 CG 和 DG。
在 ΔODG 和 ΔOCG 中，
OD = OC
[相同圓弧的半徑]
DG=CG [相同半徑的弧]
OG=OG [公共邊]
∴ Δ ODG = ΔOCG [SSS 全等]
∴ ∠ DOG= ∠COG [全等三角形對應角相等]
∴ ∠FOG = ∠ EOG = 1/2 ∠FOE = 1/2 (60∘) = 30∘
因此， ∠GOA = ∠GOE + ∠EOA = 30∘ + 60∘ = 90∘。
iv) 連線 HJ 和 IJ。
在 ΔOIJ 和 ΔOHJ 中，
OI = OH
[相同圓弧的半徑]
IJ = HJ
[相同半徑的弧]
OJ = OJ
[公共邊]
∴ ΔOIJ ≅ ΔOHJ
[SSS 全等]
∴ ∠IOJ = ∠ HOJ
[全等三角形對應角相等]
∴ ∠AOJ= ∠GOJ= 1/2 ∠GOA = ½(90°)=45 
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