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法律研究一名竊賊在盜竊後以50米/分鐘的勻速逃跑。2分鐘後，一名警察開始追捕他。警察第一分鐘跑了60米，之後每分鐘速度增加5米/分鐘。多少分鐘後，警察能夠追上竊賊？
已知
竊賊的速度 $=50$ 米/分鐘。
2分鐘後，一名警察開始追捕他。他第一分鐘跑了60米，之後每分鐘速度增加5米/分鐘。
要求
我們需要求出警察追上竊賊所需的時間。
解答
設警察從開始跑步到追上竊賊所花費的時間為 $x$ 分鐘。
根據題意，
警察在每連續一分鐘內所跑的距離（以米為單位）為 $60, 65, 70, ......, [60+(x-1)5]$
這個數列是等差數列，其中，
$a=60, d=65-60=5$
我們知道，
等差數列前 $n$ 項和 $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
因此，
警察跑過的總距離 $=\frac{x}{2}[2(60)+(x-1)5]$......(i)
竊賊在 $x+2$ 分鐘內跑過的距離 $=$ 警察跑過的總距離
我們知道，
距離 $=$ 速度 $\times$ 時間
竊賊在 $x+2$ 分鐘內跑過的距離 $=50\times(x+2)$....(ii)
由 (i) 和 (ii)
$\frac{x}{2}[2(60)+(x-1)5]=50(x+2)$
$x(120+5x-5)=2(50x+100)$
$115x+5x^2=100x+200$
$5(x^2+23x)=5(20x+40)$
$x^2+23x-20x-40=0$
$x^2+3x-40=0$
$x^2+8x-5x-40=0$
$x(x+8)-5(x+8)=0$
$(x-5)(x+8)=0$
$x-5=0$ 或 $x+8=0$
$x=5$ 或 $x=-8$，由於時間不可能為負數，所以 $x=-8$ 不成立。
因此，警察將在5分鐘後追上竊賊。
更新於: 2022年10月10日
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