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法律研究一個實心均勻球體，體積為 \( V \)，密度為 \( \rho \)，漂浮在兩種互不相溶的液體介面上，如圖所示。上層和下層液體的密度分別為 \( \rho_{1} \) 和 \( \rho_{2} \)，且滿足 \( \rho_{1}<\rho<\rho_{2} \)。球體有多少分之幾的體積在下方液體中？
(a) \( \frac{\rho-\rho_{2}}{\rho_{1}-\rho_{2}} \)
(b) \( \frac{\rho}{\rho_{1}-\rho_{2}} \)
(c) \( \frac{\rho_{1}-\rho}{\rho_{1}-\rho_{2}} \)
(d) \( \frac{\rho_{1}-\rho_{2}}{\rho_{2}} \)
已知靜止在流體中的物體，浮力 = 物體浸入部分的重量。
作用在浸入流體中的物體的力，$F=V\rho g$
設物體體積$=V$
物體密度$=\rho$ [已知]
上層液體密度$=\rho_{1}$ [已知]
下層液體密度$= \rho_{2}$ [已知]
假設物體在上層液體中的體積為 $v_1$，在下層液體中的體積為 $v_2$。
因此，$V=v_1+v_2$
由於球體靜止在介面上，如題中所述，因此物體所受的淨浮力將等於物體的重量。
設上層液體產生的浮力為 $F_1$，下層液體產生的浮力為 $F_2$。
$F_1+F_2=mg$ …..$( i)$
$F_1=v_1\rho_{1}g$
並且 $F_2=v_2\rho_{2}g$
將這些值代入 $( i)$
$v_1\rho_{1}g+v_2\rho_{2}g=(v_1+v_2)\rho g$
在兩邊消去 $g$，我們得到
$v_1\rho_{1}+v_2\rho_{2}=v_1\rho+v_2\rho$
$v_1\rho_{1}+(V-v_1)\rho_{2}=v_1\rho+(V-v_1)\rho$
$v_1(\rho_{1}-\rho_{2})+V\rho_{2}=v_1(\rho-\rho)+V\rho$
$v_1(\rho_{1}-\rho_{2})=V(\rho-\rho_{2})$
$\frac{v_1}{V}=\frac{(\rho-\rho_{2})}{(\rho_{1}-\rho_{2})}$
並且 $\frac{v_2}{V}=1-\frac{v_1}{V}=1-\frac{(\rho-\rho_{2})}{(\rho_{1}-\rho_{2})}$
$\frac{v_2}{V}=\frac{\rho_{1}-\rho}{\rho_{1}-\rho_{2}}$
因此，選項 c 是正確的。
更新於: 2022年10月10日
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