縱座標

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簡介

縱座標是有序對 (x, y) 中的第二個分量。數學有兩個主要分支，包括代數和幾何。兩者都有各自的用途和應用。然而，法國數學家勒內·笛卡爾透過代數和幾何的結合推匯出了一個概念。這個概念幫助我們表達座標系中任何物體、點或線的的位置。然而，座標系中包含各種主題。在本教程中，我們將學習座標系、笛卡爾平面、其組成部分（縱座標和橫座標）以及一些帶有已解決示例的基本公式。

座標系

在歐幾里得空間中，可以在座標系上指定任何點的方位。數學中常用的座標系有四種類型。

• 數軸 − 數軸是一條直線，零右側包含正整數，零左側包含負整數。

• 笛卡爾平面 − 笛卡爾平面包含兩條帶有整數刻度的垂直線段。

• 極座標系 − 在這種型別的座標系中，點表示為 (𝑟, 𝜃) 的形式。

• 圓柱座標系和球座標系 − 在這種型別的座標系中，點的極座標表示為 (𝑟, 𝜃, 𝜙) 的形式。

笛卡爾平面

笛卡爾平面包含兩條帶有整數刻度的垂直線段。任何點都可以用成對的座標表示，例如 (x, y)。x 表示 X 軸座標，y 表示 Y 軸座標。笛卡爾平面的示意圖如下所示。

座標平面中有三個組成部分。

• 軸 − 水平和垂直軸分別稱為 X 軸和 Y 軸。

• 原點 − 平面兩條軸相交的點稱為原點。原點的座標為 (0, 0)。

• 象限 − 笛卡爾平面上有四個象限，如下圖所示

縱座標

我們知道，任何點都可以用成對的座標表示，例如 (x, y)。座標的第二項或分量稱為縱座標。換句話說，點的 Y 軸座標被稱為該點的縱座標。例如，一個點的座標是 (6, -4)。該點的縱座標為 -4。象限決定了點縱座標的符號。

• 第一象限，y > 0

• 第二象限，y > 0

• 第三象限，y < 0

• 第四象限，y < 0

橫座標

座標的第一項或分量稱為橫座標。換句話說，點的 X 軸座標被稱為該點的橫座標。例如，一個點的座標是 (4, -5)。該點的橫座標為 4。象限決定了點橫座標的符號。

• 第一象限，x > 0

• 第二象限，x < 0

• 第三象限，x < 0

• 第四象限，x > 0

距離公式

線段的長度也可以使用距離公式計算。在笛卡爾幾何中，一個點表示為 (x, y)（其中 x = X 軸值，y = Y 軸值）。線段兩個端點的座標可以表示為 A(𝑥1, 𝑦1) 和 B(𝑥2, 𝑦2)。然後，根據距離公式，可以使用以下表達式獲得線段的長度。

$$\mathrm{\overline{AB}\:=\:\sqrt{(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}}}$$

分割公式

我們知道，通常使用點將線段分成兩部分。因此，在座標幾何中確定分割點的位置稱為分割公式。座標幾何中存在兩種型別的分割公式，例如：

• 內分割公式

• 外分割公式

現在，我們將詳細討論每個分割公式。

內分割公式

例如，考慮一條線段，其端點的座標為 𝑃(𝑥1, 𝑦1) 和 𝑄(𝑥2, 𝑦2)。點 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 線上段上被內分割，比例為 m:n（如圖所示）。現在，可以使用以下公式確定點 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 的座標。

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3})\:=\:(\frac{mx_{2}\:+\:nx_{1}}{m\:+\:n}\:,\:\frac{my_{2}\:+\:ny_{1}}{m\:+\:n})}$$

外分割公式

例如，考慮一條線段，其端點的座標為 𝑃(𝑥1, 𝑦1) 和 𝑄(𝑥2, 𝑦2)。點 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 線上段上被外分割，比例為 m:n（如圖所示）。現在，可以使用以下公式確定點 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 的座標。

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3})\:=\;(\frac{mx_{2}\:-\:nx_{1}}{m\:-\:n}\:,\:\frac{my_{2}\:-\:ny_{1}}{m\:-\:n})}$$

面積公式

下面列出了確定各種幾何結構面積的公式。

序號	幾何圖形	面積公式	變數
1	正方形	$\mathrm{a\times\:a\:=\:a^{2}}$	a = 正方形的邊長
2	矩形	$\mathrm{l\times\:b}$	l = 長度 b = 寬度
3	圓形	$\mathrm{\pi\:\times\:r^{2}}$	r = 圓的半徑
4	三角形	$\mathrm{\frac{1}{2}\times\:b\times\:h}$	b = 三角形的底 h = 三角形的高
5	梯形	$\mathrm{\frac{1}{2}\times\:(a\:+\:b)\times\:h}$	a = 底邊長度 (1) b = 底邊長度 (2) h = 高度
6	橢圓	$\mathrm{\pi\:\times\:a\:\times\:b}$	a = 長軸半徑 b = 短軸半徑

已解決示例

1)線段端點的笛卡爾座標為 A (0, -4) 和 B(3, 6)。計算 𝑨𝑩 的長度。

答案 - 給定端點的座標為 A (0, -4) 和 B(3, 6)。

根據距離公式，線段的長度將為

$$\mathrm{\overline{AB}\:=\:\sqrt{(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}}}$$

這裡，$\mathrm{x_{1}\:=\:0\:,\:x_{2}\:=\:3\:,\:y_{1}\:=\:-4\:,\:y_{2}\:=\:6}$

現在，$\mathrm{\overline{AB}\:=\:\sqrt{(3\:-\:0)^{2}\:+\:(6\:-\:(-4))^{2}}}$

$\mathrm{\overline{AB}\:=\:\sqrt{(3)^{2}\:+\:(10)^{2}}}$

$\mathrm{\overline{AB}\:=\:\sqrt{109}\:\simeq\:10.44\:cm}$

∴ 線段的長度為 10.44 釐米

2)線段端點的座標為 (-10, 5) 和 (7, -3)。x 軸上的一點以 m:n 的比例外分割線段。求 m:n 的值

答案 - 給定，

線段端點的座標 = (-10, 5) 和 (7, 3)

與標準座標比較，$\mathrm{x_{1}\:=-10\:,\:x_{2}\:=\:7\:,\:y_{2}\:=\:3}$

外部分割比例 = m:n

由於該點位於 x 軸上，因此該點的 y 座標為 0。

使用外分割公式，

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3})\:=\:(\frac{mx_{2}\:-\:nx_{1}}{m\:-\:n}\:,\:\frac{my_{2}\:-\:ny_{1}}{m\:-\:n})}$$

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:0)\:=\:(\frac{m\times\:7\:-\:n\times\:(-10)}{m\:-\:n}\:,\:\frac{m\times\:(3)\:-\:n\times\:5}{m\:-\:n})}$$

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:0)\:=\:\frac{7m\:+\:10n}{m\:-\:n}\:,\:\frac{3m\:-\:5n}{m\:-\:n}}$$

現在，比較兩邊的 y 座標，我們得到

$$\mathrm{\frac{3m\:-\:5n}{m\:-\:n}\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:3m\:-\:5n\:=\:0\times\:(m\times\:n)\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:3m\:=\:5n}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:\frac{m}{n}\:=\:\frac{5}{3}}$$

∴給定點以 5:3 的比例外分割線段。

結論

本教程簡要介紹了座標系及其各種組成部分。本教程闡述了座標系、笛卡爾平面、縱座標和橫座標的基本定義。此外，還說明了確定兩點之間距離、分割公式和麵積公式的過程。此外，還提供了一些已解決示例，以便更好地理解此概念。總之，本教程可能有助於理解縱座標和座標系的基本概念。

常見問題

1. 確定給定點的象限：(7, -9)。

由於x座標為正，y座標為負，因此該點位於第四象限。

2. 原點的座標是什麼？

在笛卡爾平面中，原點的座標為 (0, 0)。

3. 在座標系中繪製點時，應先往哪個方向移動？

在笛卡爾平面上定位點時，我們應該先定位x座標。然後，我們定位y座標。

4. 我們能使用截距公式確定線段的長度嗎？

不能，我們必須應用距離公式來確定線段的長度。

5. 在截距公式中，比例m:n可以為負值嗎？

可以。在外分時，比例m:n為負值。