方程 x = b*(sumofdigits(x) ^ a)+c 的整數解個數

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假設你得到三個整數 a、b 和 c，你有一個方程x = b* (sumofdigits(x)^a) +c。這裡，sumofdigits(x) 是 x 中所有數字的總和。為了找到滿足該方程的所有可能的整數解，我們將探討 C++ 中的各種方法。

輸入輸出場景

以下是 a、b 和 c 的值。滿足方程x = b* (sumofdigits(x)^a) +c的不同整數解作為輸出給出。

Input: a = 2, b = 2, c = -3
Output: 125, 447, 575

在上例中，a = 2，b = 2，c = -3，x 的可能值為 125、447 和 575。

考慮 125，sum(x)（即其各位數字之和）為 8，如果你將這個值代入方程b*(sum(x)^a) +c，答案為125，等於 x。因此，它是該方程的可能解。

注意 − 此方程的整數解位於 1 到 10⁹ 的範圍內。

使用遞迴

我們可以使用遞迴搜尋來查詢給定方程的整數解。

我們需要建立一個名為sumOfDigits() 的函式，用於計算任何給定數字N 的各位數字之和。

• 使用模運算子和除法運算子迭代N 的數字。

• 模運算子用於提取 N 的最後一位數字。

• 每次迭代後，將儲存在變數sum 中的數字逐個相加。

我們建立一個 integralSolutions() 函式來計算整數解。

• 它使用sumOfDigits 函式計算 x 的各位數字之和。

• 接下來，使用 for 迴圈將 sum 提升到 a 的冪。

• 我們透過將b 乘以冪並將c 加到其中來計算方程的右邊。

• 如果 x 的值等於右邊值，則將其視為整數解。

接下來，我們有一個遞迴函式，它搜尋指定範圍內的整數解。

示例

#include <iostream>
using namespace std;

int sumOfDigits(int N) {
   int sum = 0;
   while (N != 0) {
      sum += N % 10; // addition of the last digit of N
      N /= 10;
   }
   return sum;
}
void integralSolutions(int x, int a, int b, int c) {
   int sum = sumOfDigits(x);
   int power = 1;
   for (int j = 0; j < a; j++) {
      power *= sum;
   }
   int rightHandSide = b * power + c;
   if (x == rightHandSide) {
      std::cout << "Integral solution: " << x << std::endl;
   }
}
void recursion(int start, int end, int a, int b, int c) {
   if (start > end) {
      return;
   }
   integralSolutions(start, a, b, c);
   recursion(start + 1, end, a, b, c);
}
int main() {
   int a = 1, b = 3, c = 5;
   recursion(1, 100000, a, b, c);
   return 0;
}

輸出

Integral solution: 11
Integral solution: 38

段錯誤 此錯誤發生在遞迴搜尋中指定範圍的結束值超過 100000 時。因此，你不能擁有超過該值的 x 值。

使用簡單迭代

如果你想要超過 100000 的 x 整數解，那麼我們不使用遞迴。在這裡，我們將使用從 1 到 10⁹ 的 x 值的簡單迭代，並將其與方程的右邊值進行比較。

示例

#include <iostream>
using namespace std;

int sumOfDigits(int N) {
   int sum = 0;
   while (N != 0) {
      sum += N % 10;
      N /= 10;
   }
   return sum;
}

bool integralSolution(int x, int a, int b, int c) {
   int sum = sumOfDigits(x);
   int power = 1;
   for (int i = 0; i < a; i++) {
      power *= sum;
   }
   int rightHandSide = b * power + c;
   return x == rightHandSide;
}

int main() {
   int a = 3, b = 5, c = 8;
   // x ranges from 1 to 109
   for (int x = 1; x <= 1000000000; x++) {
      if (integralSolution(x, a, b, c)) {
         std::cout << "Integral solution: " << x << std::endl;
      }
   }
   return 0;
}

輸出

Integral solution: 53248
Integral solution: 148963

結論

我們探討了查詢方程x = b* (sumofdigits(x)^a) +c 的整數解的方法，包括使用遞迴或簡單迭代。遞迴方法允許你靈活地指定解的範圍。但是，它增加了時間複雜度，並且對於較大的值範圍可能會出現段錯誤，導致堆疊溢位。

迭代方法在時間複雜度和記憶體使用方面都很高效。但是，它提供的靈活性有限，並且程式碼更復雜。因此，這兩種方法各有優缺點。你可以根據自己的需求選擇任何一種方法。