數學邏輯術語和定義

重言式

重言式是指對於其命題變數的每個值都始終為真的公式。

示例 − 證明 [ (A → B) ∧ A ] → B 是一個重言式

真值表如下所示 −

我們可以看到 [ (A → B) ∧ A ] → B 的每個值都為“真”，因此它是一個重言式。

矛盾式

矛盾式是指對於其命題變數的每個值都始終為假的公式。

示例 − 證明 (A ∨ B) ∧ [ ( ¬ A) ∧ (¬ B) ] 是一個矛盾式

真值表如下所示 −

我們可以看到 (A ∨ B) ∧ [ ( ¬ A) ∧ (¬ B) ] 的每個值都為“假”，因此它是一個矛盾式。

偶然式

偶然式是指對於其命題變數的每個值都既有一些真值也有一些假值的公式。

示例 − 證明 (A ∨ B) ∧ (¬ A) 是一個偶然式

真值表如下所示 −

我們可以看到 (A ∨ B) ∧ (¬ A) 既有“真”值也有“假”值，因此它是一個偶然式。

命題等價

如果滿足以下兩個條件之一，則兩個語句 X 和 Y 在邏輯上是等價的 −

• 每個語句的真值表具有相同的真值。

• 雙條件語句 X ⇔ Y 是一個重言式。

示例 − 證明 ¬ (A ∨ B) 和 [ (¬ A) ∧ (¬ B) ] 是等價的

使用第一種方法測試（匹配真值表）

在這裡，我們可以看到 ¬ (A ∨ B) 和 [ (¬ A) ∧ (¬ B) ] 的真值相同，因此這些語句是等價的。

使用第二種方法測試（雙條件性）

由於 [ ¬ (A ∨ B) ] ⇔ [ (¬ A ) ∧ (¬ B) ] 是一個重言式，因此這些語句是等價的。

逆命題、否命題和逆否命題

蘊涵/如果-則 (→) 也稱為條件語句。它有兩個部分 −

• 假設，p
• 結論，q

如前所述，它表示為 p → q。

條件語句示例 − “如果你做作業，你就不會受到懲罰。” 這裡，“你做作業”是假設 p，“你不會受到懲罰”是結論 q。

逆命題 − 條件語句的逆命題是對假設和結論都進行否定。如果語句是“如果 p，則 q”，則逆命題將是“如果非 p，則非 q”。因此，p → q 的逆命題是 ¬ p → ¬ q。

示例 − “如果你做作業，你就不會受到懲罰”的逆命題是“如果你不做作業，你就會受到懲罰”。

否命題 − 條件語句的否命題是透過交換假設和結論來計算的。如果語句是“如果 p，則 q”，則否命題將是“如果 q，則 p”。p → q 的否命題是 q → p。

示例 − “如果你做作業，你就不會受到懲罰”的否命題是“如果你不會受到懲罰，你就會做作業”。

逆否命題 − 條件語句的逆否命題是透過交換逆命題的假設和結論來計算的。如果語句是“如果 p，則 q”，則逆否命題將是“如果非 q，則非 p”。p → q 的逆否命題是 ¬ q → ¬ p。

示例 − “如果你做作業，你就不會受到懲罰”的逆否命題是“如果你受到懲罰，你就沒有做作業”。

對偶原理

對偶原理指出，對於任何真語句，透過將並集交換為交集（反之亦然）並將全集交換為空集（反之亦然）而獲得的對偶語句也為真。如果任何語句的對偶是語句本身，則稱其為自對偶語句。

示例 − (A ∩ B ) ∪ C 的對偶是 (A ∪ B) ∩ C

正規化

我們可以將任何命題轉換為兩種正規化 −

• 合取正規化
• 析取正規化

合取正規化

如果一個複合語句是透過對用或連線的變數（包括變數的否定）進行與運算而獲得的，則該複合語句處於合取正規化。就集合運算而言，它是透過對用並集連線的變數進行交集而獲得的複合語句。

示例

• (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C ∨ D)

• (P ∪ Q) ∩ (Q ∪ R)

析取正規化

如果一個複合語句是透過對用與連線的變數（包括變數的否定）進行或運算而獲得的，則該複合語句處於析取正規化。就集合運算而言，它是透過對用交集連線的變數進行並集而獲得的複合語句。

示例

• (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C ∧ D)

• (P ∩ Q) ∪ (Q ∩ R)

Mahesh Parahar

更新於: 2019年8月23日

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