如何在 Python 中使用 numpy 計算矩陣的跡？

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使用 Numpy 計算矩陣的跡是線性代數中常見的運算，可用於提取有關矩陣的重要資訊。矩陣的跡定義為矩陣主對角線上的元素之和，主對角線從左上角到右下角。在本文中，我們將學習使用 Python 中的 NumPy 庫計算矩陣跡的各種方法。

在開始之前，讓我們首先匯入 NumPy 庫 -

import numpy as np

接下來，讓我們使用 np.array 函式定義一個矩陣 -

A = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])

示例 1

要計算此矩陣的跡，我們可以使用 NumPy 中的 np.trace 函式

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
trace = np.trace(A)
print(trace)

輸出

15

np.trace 函式接受一個引數，即我們要計算其跡的矩陣。它將矩陣的跡作為標量值返回。

示例 2

或者，我們還可以使用 sum 函式和索引主對角線上的元素來計算矩陣的跡 -

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
trace = sum(A[i][i] for i in range(A.shape[0]))
print(trace)

輸出

15

在這裡，我們使用矩陣的 shape 屬性來確定其維度，並使用 for 迴圈迭代主對角線上的元素。

需要注意的是，矩陣的跡僅針對方陣定義，即行數和列數相同的矩陣。如果嘗試計算非方陣的跡，則會出錯。

示例 3

除了計算矩陣的跡之外，NumPy 還提供了一些其他函式和方法來執行各種線性代數運算，例如計算矩陣的行列式、逆矩陣以及矩陣的特徵值和特徵向量。以下是 NumPy 提供的一些最有用的線性代數函式列表 -

• np.linalg.det - 計算矩陣的行列式

• np.linalg.inv - 計算矩陣的逆。

• np.linalg.eig - 計算矩陣的特徵值和特徵向量。

• np.linalg.solve - 求解由矩陣表示的線性方程組

• np.linalg.lstsq - 求解線性最小二乘問題。

• np.linalg.cholesky - 計算矩陣的 Cholesky 分解。

要使用這些函式，您需要匯入 NumPy 的 linalg 子模組 -

 import numpy.linalg as LA

示例 3

例如，要使用 NumPy 計算矩陣的行列式，可以使用以下程式碼 -

import numpy as np
import numpy.linalg as LA
A = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
det = LA.det(A)
print(det)

輸出

0.0

NumPy 的線性代數函式針對性能進行了最佳化，使其成為大規模科學和數學計算應用的理想選擇。除了提供廣泛的線性代數函式外，NumPy 還提供了一些方便的函式來建立和操作矩陣和 n 維陣列，例如 np.zeros、np.ones、np.eye 和 np.diag。

示例 4

以下是如何使用 np.zeros 函式建立零矩陣的示例 -

import numpy as np
A = np.zeros((3,3)) # Creates a 3x3 matrix of zeros
print(A)

輸出

這將輸出以下矩陣

[[0. 0. 0.]
[0. 0. 0.]
[0. 0. 0.]]

示例 5

類似地，np.ones 函式可以建立全 1 矩陣，而 np.eye 函式可以建立單位矩陣。例如 -

import numpy as np
A = np.ones((3,3)) # Creates a 3x3 matrix of ones
B = np.eye(3) # Creates a 3x3 identity matrix
print(A)
print(B)

輸出

這將輸出以下矩陣。

[[1. 1. 1.]
[1. 1. 1.]
[1. 1. 1.]]

[[1. 0. 0.]
[0. 1. 0.]
[0. 0. 1.]]

示例 6

最後，np.diag 函式可以根據給定的列表或陣列建立對角矩陣。例如 -

import numpy as np
A = np.diag([1,2,3]) # Creates a diagonal matrix from the given list
print(A)

輸出

這將輸出以下矩陣。

[[1 0 0]
[0 2 0]
[0 0 3]]

結論

總之，NumPy 是一個功能強大的 Python 庫，用於執行線性代數運算。它提供的廣泛的函式和方法使其成為科學和數學計算的重要工具，並且其最佳化的效能使其適用於大規模應用。無論您需要計算矩陣的跡、查詢矩陣的逆還是求解線性方程組，NumPy 都能為您提供所需的工具來完成工作。