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法學C++ 中求第 N 項（矩陣冪運算示例）
在這個問題中，我們給定一個整數 N 和一個遞迴函式，該函式給出了第 N 項作為其他項的函式。我們的任務是建立一個程式來查詢第 N 項（矩陣冪運算示例）。
函式為：
T(n) = 2*( T(n-1) ) + 3*( T(n-2) ) Initial values are T(0) = 1 , T(1) = 1
讓我們來看一個例子來理解這個問題：
輸入
N = 4
輸出
41
解釋
T(4) = 2* (T(3)) + 3*(T(2)) T(4) = 2* ( 2*(T(2)) + 3*(T(1)) ) + 3*( 2* (T(1)) + 3*(T(0)) ) T(4) = 2*( 2*(2* (T(1)) + 3*(T(0))) + 3*(1) ) + 3*(2*(1) + 3*(1)) T(4) = 2*(2 * (2 *(1) + 3*(1) )) + 3 ) + 3 * (5) T(4) = 2*(2 * (2 + 3) + 3) + 15 T(4) = 2*(2 * (5) + 3) + 15 T(4) = 2*(10 + 3) + 15 T(4) = 2*(13) + 15 = 26 + 15 = 41
解決方案方法
解決這個問題的一個簡單方法是使用遞迴或迭代。我們可以將第 n 項作為對前幾項的遞迴呼叫，並使用初始值來找到結果。
程式說明了我們解決方案的工作原理：
示例
#include <iostream>
using namespace std;
long calcNthTerm(long n) {
if(n == 0 || n == 1)
return 1;
return ( ( 2*(calcNthTerm(n-1)) ) + ( 3*(calcNthTerm(n-2)) ) );
}
int main() {
long n = 5;
cout<<n<<"th term of found using matrix exponentiation is "<<calcNthTerm(n);
return 0;
}輸出
5th term of found using matrix exponentiation is 121
高效方法
解決這個問題的一個高效方法是使用矩陣冪運算的概念。在這種方法中，我們將使用一個變換矩陣來查詢第 N 項。
為此，我們需要找到變換矩陣。該矩陣取決於相關項的數量（此處為 2），以及初始值 T(0) = 1, T(1)= 1。
變換矩陣的大小為 k*k。當它與大小為 k*1 的初始矩陣相乘時，會返回下一項。
以下是值：
初始矩陣 =
$$\begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}$$
變換矩陣 =
$$\begin{bmatrix}2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}$$
Tn 的值給出為 TM(n-1)*IM
$$\begin{bmatrix}2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}^{n-1}*\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
程式說明了我們解決方案的工作原理：
示例
#include <iostream>
using namespace std;
#define MOD 1000000009
long calcNthTerm(long n) {
if (n <= 1)
return 1;
n--;
long resultantMat[2][2] = { 1, 0, 0, 1 };
long transMat[2][2] = { 2, 3, 1, 0 };
while (n) {
long tempMat[2][2];
if (n & 1) {
tempMat[0][0] = (resultantMat[0][0] * transMat[0][0] +
resultantMat[0][1] * transMat[1][0]) % MOD;
tempMat[0][1] = (resultantMat[0][0] * transMat[0][1] +
resultantMat[0][1] * transMat[1][1]) % MOD;
tempMat[1][0] = (resultantMat[1][0] * transMat[0][0] +
resultantMat[1][1] * transMat[1][0]) % MOD;
tempMat[1][1] = (resultantMat[1][0] * transMat[0][1] +
resultantMat[1][1] * transMat[1][1]) % MOD;
resultantMat[0][0] = tempMat[0][0];
resultantMat[0][1] = tempMat[0][1];
resultantMat[1][0] = tempMat[1][0];
resultantMat[1][1] = tempMat[1][1];
}
n = n / 2;
tempMat[0][0] = (transMat[0][0] * transMat[0][0] +
transMat[0][1] * transMat[1][0]) % MOD;
tempMat[0][1] = (transMat[0][0] * transMat[0][1] +
transMat[0][1] * transMat[1][1]) % MOD;
tempMat[1][0] = (transMat[1][0] * transMat[0][0] +
transMat[1][1] * transMat[1][0]) % MOD;
tempMat[1][1] = (transMat[1][0] * transMat[0][1] +
transMat[1][1] * transMat[1][1]) % MOD;
transMat[0][0] = tempMat[0][0];
transMat[0][1] = tempMat[0][1];
transMat[1][0] = tempMat[1][0];
transMat[1][1] = tempMat[1][1];
}
return (resultantMat[0][0] * 1 + resultantMat[0][1] * 1) % MOD;
}
int main() {
long n = 5;
cout<<n<<"th term of found using matrix exponentiation is "<<calcNthTerm(n);
return 0;
}輸出
5th term of found using matrix exponentiation is 121
更新於：2021年3月13日
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