查詢第 n 個幸運數
幸運數 - 對於給定的正整數 n,它是滿足 pn# + m 為素數的最小整數 m > 1,其中 pn# 是前 n 個素數的乘積。
例如,為了計算第三個幸運數,首先計算前 3 個素數(2、3、5)的乘積,即 30。加上 2 得到 32,這是一個偶數;加上 3 得到 33,它是 3 的倍數。以此類推,我們會排除直到 6 的所有整數。加上 7 得到 37,這是一個素數。因此,7 是第三個幸運數。
前幾個素數階乘對應的幸運數為 -
3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109 ….
問題陳述
給定一個數字 n。查詢第 n 個幸運數。
示例 1
Input: n = 3
Output: 7
說明 - 前 3 個素數的乘積 -
2 3 5 = 30 30 + 7 = 37, a prime number.
示例 2
Input: n = 7
Output: 19
說明 - 前 7 個素數的乘積 -
2 3 5 7 11 13 17 = 510510 510510 + 19 = 510529, a prime number.
方法 1:素數階乘方法
解決此問題的一個簡單方法是首先計算 pn#,即前 n 個素數的乘積,然後找到 pn# 和下一個素數之間的差值。得到的差值將是一個幸運數。
虛擬碼
procedure prime (num) if num <= 1 ans = TRUE end if for i = 2 to sqrt(num) if i is a factor of num ans = false end if ans = true end procedure procedure nthFortunate (n) prod = 1 count = 0 for i = 2 to count < n if i is prime prod = prod * i count = count + 1 end if nextPrime = prod + 2 while nextPrime is not prime nextPrime = next Prime + 1 ans = nextPrime - prod end procedure
示例:C++ 實現
在以下程式中,幸運數是透過計算前 n 個素數的素數階乘和素數階乘之後的下一個素數來計算的。幸運數是下一個素數和素數階乘之間的差值。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to find if a number is prime or not bool prime(unsigned long long int num){ if (num <= 1) return true; for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++){ if (num % i == 0) return false; } return true; } // Function to find the nth Fortunate number unsigned long long int nthFortunate(int n){ long long int prod = 1, count = 0; // Calculating product/primorial of first n prime numbers for (int i = 2; count < n; i++){ if (prime(i)){ prod *= i; count++; } } // Find the next prime greater than the product of n prime numbers unsigned long long int nextPrime = prod + 2; while (!prime(nextPrime)){ nextPrime++; } // Fortunate number is the difference between prime and primorial unsigned long long int ans = nextPrime - prod; return ans; } int main(){ int n = 15; cout << n << "th Fortunate number : " << nthFortunate(n); return 0; }
輸出
15th Fortunate number : 107
時間複雜度 - O(nsqrt(n)),其中 prime() 函式的複雜度為 O(sqrt(n)),nthFortunate() 中的 for 迴圈的複雜度為 O(nsqrt(n))。
空間複雜度 - O(1)
方法 2:埃拉托色尼篩法
埃拉托色尼篩法用於獲取所有小於限制值的素數,我們將給它一個值 MAX。在這種方法中,我們建立一個布林陣列,所有條目都為 true,並將所有非素數索引標記為 false。然後將陣列中的前 n 個素數相乘以獲得前 n 個素數的乘積。然後類似於之前的方法,從 2 開始遞增乘積以獲取下一個素數。下一個素數與乘積之間的差值將是所需的幸運數。
虛擬碼
procedure nthFortunate (n) MAX is set prime[MAX] = {true} prime[0] = false prime[1] = false for i = 1 to i*i <= MAX if prime[i] for j = i*i to MAX with j = j + i in each iteration prime [j] = false end if prod = 1 count = 0 for i = 2 to count < n if prime[i] prod = prod * i count = count + 1 end if nextPrime = prod + 2 while nextPrime is not prime nextPrime = nextPrime + 1 ans = nextPrime - prod end procedure
示例:C++ 實現
在以下程式中,大小為 MAX 的布林素數陣列記錄了所有小於 MAX 的素數。然後透過將前 n 個素數相乘來找到素數階乘。然後類似於之前的方法,找到 nextPrime。nextPrime 與乘積之間的差值是幸運數。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to find the nth Fortunate number unsigned long long int nthFortunate(int n){ // Setting upper limit for Sieve of Eratosthenes const unsigned long long int MAX = 1000000000; vector<bool> prime(MAX, true); prime[0] = prime[1] = false; // Sieve of Eratosthenes to find all primes up to MAX for (unsigned long long int i = 2; i * i <= MAX; i++){ if (prime[i]){ // Setting all the multiples of i to false for (int j = i * i; j <= MAX; j += i){ prime[j] = false; } } } // Find the first n primes and calculate their product unsigned long long int prod = 1, count = 0; for (unsigned long long int i = 2; count < n; i++){ if (prime[i]){ prod *= i; count++; } } // Find next prime greater than product unsigned long long int nextPrime = prod + 2; while (!prime[nextPrime]) nextPrime++; // Fortunate number is difference between prime and product return nextPrime - prod; } int main(){ int n = 25; cout << n << "th Fortunate number : " << nthFortunate(n); return 0; }
輸出
15th Fortunate number : 107
時間複雜度 - O(n log(log(n)))
空間複雜度 - O(MAX)
結論
總之,可以透過以下兩種方法找到第 n 個幸運數。
素數階乘方法:找到前 n 個素數的乘積,並計算從該乘積開始的下一個素數。素數與乘積之間的差值是第 n 個幸運數。
埃拉托色尼篩法:找到所有小於限制值的素數,然後計算乘積和下一個素數以找到幸運數。
由於變數大小的限制,這兩種方法僅對較小的 n 值有效。對於較大的值,需要更有效和最佳化的解決方案。