行列式

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引言

• 我們在前面的課程中學習過，兩個二元一次方程組，即 $\mathrm{a_{1}x\:+\:b_{1}y\:=\:c_{1}\:and\:a_{2}x\:+\:b_{2}y\:=\:c_{2}}$，如果 $\mathrm{\frac{a_{1}}{b_{1}}\:\neq\:\frac{a_{2}}{b_{2}}\:i.e.\:a_{1}b_{2}\:-\:b_{1}a_{2}\:\neq\:0}$，則該方程組有唯一解。

• 因此，$\mathrm{(a_{1}b_{2}\:-\:b_{1}a_{2})}$ 是兩個線性方程組的決定因素。

• 我們將 $\mathrm{a_{1}b_{2}\:-\:b_{1}a_{2}}$ 定義為二階方陣的行列式。在本教程中，我們將定義二階和三階方陣的行列式，並瞭解行列式的性質以及一些已解決的示例。

行列式

對於每個 𝑛 階方陣 $\mathrm{A\:=\:[a_{ij}]}$，我們可以將其與一個稱為方陣 𝐴 的行列式的實數或複數相關聯，其中 𝑎𝑖𝑗 表示矩陣 𝐴 的第 i 行第 j 列的元素。矩陣的行列式用 $\mathrm{det(A)\:or\:\lvert\:A\rvert}$ 表示。

一階方陣的行列式

注意 - 一階方陣的行列式定義為元素本身。

示例 -

如果 $\mathrm{A\:=\:[2]}$，則矩陣的行列式為 $\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=\:2}$

二階方陣的行列式

二階方陣 𝐴 的行列式定義如下 -

$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}}$

$$\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=a_{11}a_{22}\:-\:a_{21}a_{12}}$$

三階方陣的行列式

三階方陣的行列式定義為元素與其對應的代數餘子式乘積的和。

如果

$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}}$

子式用 $\mathrm{M_{ij}}$ 表示，它是降階矩陣的行列式。代數餘子式 $\mathrm{A_{ij}}$ 定義為 $\mathrm{A_{ij}\:=\:(-1)^{i\:+\:j}M_{ij}}$

因此，3 x 3 方陣的行列式由下式給出

$$\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=a_{11}A_{11}\:+\:a_{12}A_{12}\:+\:a_{13}A_{13}}$$

示例

求以下矩陣的行列式

$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}}$

解決方案

我們將透過沿第一行展開來求行列式。因此，我們計算第一行元素的子式和代數餘子式。

1 的子式是

$\mathrm{\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3\\ \end{bmatrix}\:=\:0\:-\:0\:=\:0}$

$\mathrm{1 的代數餘子式\:=\:(-1)^{1\:+\:1}M_{11}\:=\:M_{11}\:=\:0}$

-2 的子式是

$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\\ \end{bmatrix}\:=\:3\:-\:0\:=\:3}$

$\mathrm{-2 的代數餘子式\:=\:(-1)^{1\:+\:2}M_{12}\:=\:-M_{12}\:=\:-3}$

3 的子式是

$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\\ \end{bmatrix}\:=\:0\:-\:0\:=\:0}$$

$\mathrm{3 的代數餘子式\:=\:(-1)^{1\:+\:3}M_{13}\:=\:M_{13}\:=\:0}$

因此，給定 3 x 3 矩陣的行列式由下式給出，

$$\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=a_{11}A_{11}\:+\:a_{12}A_{12}\:+\:a_{13}A_{13}}$$

$$\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=1(0)\:+\:2(-3)\:+\:3(0)\:=\:0\:-\:6\:+\:0\:-6}$$

行列式的性質

• 如果方陣的一行或一列的每個元素都為零，則該矩陣的行列式為零。

• 如果方陣的任意兩行或兩列互換，則矩陣行列式的值改變符號。

• 如果方陣的任意兩行或兩列相同，則行列式的值為零。

• 矩陣與其轉置的行列式相同。

• 如果一行或一列的元素與另一行或另一列的對應元素的比率相同，則行列式的值為零。

• 如果每一行的每個元素都乘以一個標量 𝑘，則行列式的值變為原來的 𝑘 倍。

• 如果 𝑘 是一個標量，則 $\mathrm{\lvert\:KA\:\rvert\:=\:K^{3}\lvert\:A\:\rvert}$

• 對角矩陣的行列式是對角元素的乘積。

• 三角矩陣的行列式是對角元素的乘積。

• $\mathrm{\begin{vmatrix} a_{1}\:+\:x & b_{1} & c_{1} \\ a_{2}\:+\:x & b_{2} & c_{2}\\ a_{3}\:+\:x & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}\:=\:\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}\:+\:\begin{vmatrix} x & b_{1} & c_{1} \\ x & b_{2} & c_{2}\\ x & b_{2} & c_{3} \end{vmatrix}}$

• 如果包含 𝑥 中多項式的方陣的行列式的值為零，則 $\mathrm{x\:=\:0\:then\:(x\:-\:a)}$ 是行列式的因子。

• 如果對行或列進行初等變換，行列式的值保持不變。

• $ \mathrm{\lvert\:AB\:\rvert\:=\:\lvert\:A\:\rvert\:\lvert\:B\:\rvert\:}$

• $\mathrm{\lvert\:AB\:\rvert\:=\:\lvert\:A\:\rvert\:^{n}}$

用行列式求平行四邊形的面積

用行列式求三角形面積的公式是一種有效地給出三角形面積正值的公式。當已知三角形的頂點而不是三角形的高和底時，此公式很有用。如果 (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) 和 (𝑥3, 𝑦3) 是給定三角形的三個頂點，則其面積用行列式形式定義為

$ \mathrm{\frac{1}{2}\:\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1\\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{vmatrix}}$

平行四邊形的面積可以透過將由給定三角形的任意三個連續頂點形成的三角形的面積加倍來計算。

已解決的示例

1.不展開行列式，證明

$\mathrm{\begin{vmatrix} p\:-\:q & q\:-\:r & r\:-\:p \\ q\:-\:r & r\:-\:p & p\:-\:q\\ r\:-\:p & p\:-\:q & q\:-\:r \end{vmatrix}\:=\:0}$

解決方案 -

考慮 LHS 為

$\mathrm{\begin{vmatrix} p\:-\:q & q\:-\:r & r\:-\:p \\ q\:-\:r & r\:-\:p & p\:-\:q\\ r\:-\:p & p\:-\:q & q\:-\:r \end{vmatrix}}$

現在注意第一行的每個元素都為零，因此根據上面討論的行列式的第一個性質，給定行列式的值為零。

因此，

$\mathrm{\begin{vmatrix} p\:-\:q & q\:-\:r & r\:-\:p \\ q\:-\:r & r\:-\:p & p\:-\:q\\ r\:-\:p & p\:-\:q & q\:-\:r \end{vmatrix}\:=\:0}$

2. 證明

$\mathrm{\begin{vmatrix} x& p & p \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}\:=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)^{2}}$

解決方案 -

考慮 LHS 為

$\mathrm{\begin{vmatrix} x& p & p \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}}$

透過執行初等變換 $\mathrm{R_{1}\:\rightarrow\:R_{1}\:+\:R_{2}\:+\:R_{3}}$，我們得到，

$\mathrm{=\:\begin{vmatrix} x\:+\:2p& x\:+\:2p & x\:+\:2p \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}}$

注意 $\mathrm{x\:+\:2p}$ 是上述行列式的因子，

因此，

$\mathrm{(x\:+\:2p)\:\begin{vmatrix} 1& 1 & 1 \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}}$

現在執行初等變換 $\mathrm{R_{2}\:\rightarrow\:R_{2}\:+\:R_{3}}$，我們得到，

$\mathrm{(x\:+\:2p)\:\begin{vmatrix}1& 1 & 1 \\ 0 & x\:-\:p & \:-\:x\\ p & p & x\end{vmatrix}}$

注意 (𝑥 − 𝑝) 是上述行列式的因子。因此，

現在，展開剩餘的行列式值，我們得到，

$$\mathrm{=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)\:[1(x\:+\:p)\:-\:1(0\:+\:p)\:+\:1(0\:-\:p)]}$$

$$\mathrm{=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)(x\:-\:p)}$$

$$\mathrm{=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)^{2}}$$

因此，

$$\mathrm{\begin{vmatrix} x & p & p \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}\:=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)^{2}}$$

結論

• 對於每個 𝑛 階方陣 $\mathrm{A\:=\:[a_{ij}]}$，我們可以將其與一個稱為方陣 𝐴 的行列式的實數或複數相關聯，其中 $\mathrm{a_{ij}}$ 表示矩陣 𝐴 的第 i 行第 j 列的元素。矩陣的行列式用 $\mathrm{det(A)\:or\:\lvert\:A\:\rvert}$ 表示。

• 用行列式表示的三角形面積由 $\mathrm{\frac{1}{2}\:\lvert\:x_{1}(y_{2}\:-\:y_{3})\:+\:x_{2}(y_{3}\:-\:y_{1})\:+\:x_{3}(y_{1}\:-\:y_{2})\:\rvert\:Where\:(x_{1},y_{1})\:(x_{2},y_{2})\:and\:(x_{3},y_{3})}$ 三個頂點給出。

• 由於行列式的值可以為負或正，因此取行列式的絕對值，將計算出的行列式的值作為三角形的面積。

• 任何四邊形的面積都可以透過將透過對角線劃分四邊形形成的兩個三角形的面積相加來求得。

• 用行列式表示的平行四邊形面積公式為 $\mathrm{\lvert\:x_{1}(y_{2}\:-\:y_{3})\:+\:x_{2}(y_{3}\:-\:y_{1})\:+\:x_{3}(y_{1}\:-\:y_{2})\:\rvert}$

• 如果由三個點形成的三角形的面積為零，則這三個點共線，這是行列式在幾何中的應用。

常見問題

1. 行列式可以為負嗎？

行列式不是矩陣；它是一個實數。行列式可能是負數。除了它們都使用豎線之外，它與絕對值無關。

2. 我們可以新增兩個行列式嗎？

如果兩個行列式只在一列上不同，則可以透過簡單地新增這兩列來將這兩個行列式組合在一起。

3. 如果行列式為 0 會怎樣？

當矩陣的行列式為0時，該矩陣不可逆。這是確定矩陣是否可逆的主要依據。所討論的矩陣稱為奇異矩陣。當行列式為零時，與矩陣相關的方程組是線性相關的。

4. 求平行四邊形面積的公式是什麼？

用行列式表示的平行四邊形面積公式為 $\mathrm{\lvert\:x_{1}(y_{2}\:-\:y_{3})\:+\:x_{2}(y_{3}\:-\:y_{1})\:+\:x_{3}(y_{1}\:-\:y_{2})\:\rvert}$

5. 行列式是一個標量嗎？

在數學中，行列式是一個標量量，它是方陣的行和列的函式。它可以刻畫矩陣和矩陣所代表的線性對映的一些方面。