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法律研究計算基於給定條件可以形成無環圖的所有整數（直至N）的排列數
計算最多到 N 的所有整數的排列，這些排列形成非迴圈圖，需要檢查所有可能的排列並檢查它們是否根據給定條件形成非迴圈圖。這些條件可能與從排列形成的有向圖結構相關，其中迴圈的缺乏表示無環性。此問題涉及圖論概念，可以透過深度優先搜尋或動態規劃來解決。雖然 DFS 遞迴地探索每個排列，但 DP 透過儲存中間結果來最佳化過程。有效排列的最終計數表示可以排列最多 N 的整數以形成滿足預定義條件的非迴圈圖的方式數量。
使用的方法
深度優先搜尋 (DFS)
動態規劃
深度優先搜尋 (DFS)
在使用 DFS 方法生成具有給定操作的序列時，我們從給定的數字開始並重復操作，直到我們到達值 1。我們按如下方式進行：如果數字是偶數，我們將其除以 2；如果它是奇數，我們將其乘以 3 並加 1。我們更新數字以反映新的結果並將其新增到序列中。此過程繼續，直到數字達到 1。生成的序列表示給定起始數字的重複 Collatz 序列。這種方法使我們能夠跟蹤數字在重複操作中發生的變化，揭示模式並考慮 Collatz 序列的行為。它提供了一種簡單且可重複的方法來生成序列並探索這種數學現象的迷人特徵。
演算法
選擇一個起始節點開始遍歷。
標記該節點為已訪問，以跟蹤哪些節點已被探索。
訪問當前節點的未訪問鄰居（如果有）。要確定當前節點的鄰居，您需要知道圖的鄰接表示（例如，鄰接列表或鄰接矩陣）。
如果有未訪問的鄰居，選擇其中一個並從該鄰居重複步驟 2 到 4（遞迴）。
如果沒有未訪問的鄰居，則回溯到先前的節點並從那裡繼續探索（如果可能）。此步驟對於探索圖中的所有可能路徑至關重要。
重複步驟 2 到 5，直到訪問圖中的所有節點。如果圖不是連通的（包含多個元件），您可能需要從未訪問的節點開始 DFS。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void dfs(int node, vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited) {
visited[node] = true;
cout << "Visited hub: " << node << endl;
for (int neighbor : graph[node]) {
if (!visited[neighbor]) {
cout << "Moving to neighbor: " << neighbor << endl;
dfs(neighbor, graph, visited);
}
}
}
int main() {
vector<vector<int>> graph = {
{1, 2},
{0, 2, 3},
{0, 1, 3},
{1, 2, 4},
{3}
};
int hubs = graph.size();
vector<bool> visited(hubs, false);
int startingHub = 0;
cout << "DFS Traversal starting from hub " << startingHub << ":" << endl;
dfs(startingHub, graph, visited);
return 0;
}
輸出
DFS Traversal starting from hub 0: Visited hub: 0 Moving to neighbor: 1 Visited hub: 1 Moving to neighbor: 2 Visited hub: 2 Moving to neighbor: 3 Visited hub: 3 Moving to neighbor: 4 Visited hub: 4
動態規劃
在此方法中，我們可以使用動態規劃來有效地計算最多 N 的非迴圈排列的數量。我們將定義一個 DP 表，其中 dp[i] 表示以數字 I 結尾的非迴圈排列的數量。
演算法
分析問題並確定它是否可以分解成更小的子問題。如果重複解決同一個子問題效率低下，則 DP 可以透過記住子問題解決方案來幫助最佳化解決方案。\
將更大問題的解決方案表示為其子問題的解決方案。這種遞迴關係是使用 DP 解決問題的關鍵。
根據遞迴關係，建立一個表或陣列來儲存子問題的解決方案。這將防止重複計算。
從最小的子問題開始填充表格，通常以自底向上的方式，或者使用備忘錄來儲存和檢索在遞迴期間需要時的解決方案。
當所有子問題都得到解決時，從 DP 表或備忘錄陣列中提取最終解決方案。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int knapsackHelper(vector<vector<int>>& dp, vector<int>& weights, vector<int>& values, int n, int capacity) {
if (n == 0 || capacity == 0) {
return 0;
}
if (dp[n][capacity] != -1) {
return dp[n][capacity];
}
if (weights[n - 1] <= capacity) {
dp[n][capacity] = max(values[n - 1] + knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity - weights[n - 1]),
knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity));
} else {
dp[n][capacity] = knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity);
}
return dp[n][capacity];
}
int knapsack(vector<int>& weights, vector<int>& values, int capacity) {
int n = weights.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(capacity + 1, -1));
return knapsackHelper(dp, weights, values, n, capacity);
}
int main() {
vector<int> weights = {10, 20, 30};
vector<int> values = {60, 100, 120};
int capacity = 50;
cout << "Maximum value in Knapsack: " << knapsack(weights, values, capacity) << endl;
return 0;
}
輸出
Maximum value in Knapsack: 220
結論
計算可以形成非迴圈圖的排列涉及檢查最多 N 的整數的不同排列，以確保它們滿足給定的條件。DFS 遞迴地探索排列，而 DP 透過備忘錄最佳化過程。這兩種方法都提供瞭解決此問題的重要策略。方法的選擇取決於約束和 N 的大小。使用這些方法，我們可以有效地找到有效排列的數量，幫助我們瞭解可以在預定義條件下按順序排列數字以形成非迴圈圖的方式。
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