干涉條件

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簡介

干涉條件是波動光學最重要的概念之一。光的現象、反射和折射只能基於波動光學來解釋。光以波的形式傳播的方向由光屏本身指示。當一塊石頭掉在靜止的水面上時，漣漪會從石頭掉落的地方向周圍擴散。這個事件是波浪擴散的完美例子。當波紋經過某一點時，該點的水分子或粒子上下移動（或振盪）。與焦點等距的所有波節點都具有同相共振的波前。

干涉

• 當兩列光波相互疊加時，某些點光強增加，其他點光強減弱的現象稱為光的干涉。疊加是指光波的相加。

• 當兩列波同時穿過介質時，合位移等於每列波對其施加的各個位移的向量和。

• 根據相應波之間相位差的不同，合位移可以是最大值或最小值。

這些概念也適用於光。考慮來自兩個光源$\mathrm{S_1}$和$\mathrm{S_2}$的光波，它們在點P處相遇。

來自光源$\mathrm{S_1}$的波在時間t到達P，

$$\mathrm{y_1=a_1\:sin\:ωt\:\:\:\:\:\rightarrow (1)}$$

來自光源$\mathrm{S_2}$的波在時間t到達P，

$$\mathrm{y_2=a_2 sin (\omega t+\phi)\:\:\:\:\:\rightarrow(2)}$$

這兩列波具有不同的振幅$\mathrm{a_1}$和$\mathrm{a_2}$以及相似的角頻率ω和相位差ϕ。這兩列波引起的合位移

$$\mathrm{y=y_1+y_2=a_1 sin ωt+a_2 sin (\omega t+\phi)\:\:\:\:\:\rightarrow(3)}$$

使用三角恆等式求解此方程得到以下方程，

$$\mathrm{y=A sin (\omega t+\theta)\:\:\:\:\:\rightarrow(4)}$$

其中

$$\mathrm{A=\sqrt{a_1^2+a_2^2+2a_1 a_2\:cos\:\phi}\:\:\:\:\:\rightarrow(5)}$$

$$\mathrm{θ=tan^{-1}\frac{a_2\:sin\phi}{a_1+a_2 cos\phi}}$$

當$\mathrm{\phi=0,\pm 2\pi,\pm 4\pi,...}$時，合振幅最大。

$$\mathrm{A_{max}=\sqrt{(a_1+a_2 )^2}}$$

當$\mathrm{\phi =\pm \pi,\pm 3\pi,\pm 5\pi,...}$時，合振幅最小。

$$\mathrm{A_{max}=\sqrt{(a_1-a_2 )^2}}$$

強度與振幅的平方成正比

$$\mathrm{I \propto A^2\: \:\:\:\:\:\rightarrow(6)}$$

從公式(5)

$$\mathrm{I=I_1+I_2+2\sqrt{(I_1 I_2 )}cos \phi \:\:\:\:\:\:\rightarrow(7)}$$

干涉型別

相長干涉

• 當一個波的波峰與另一個波的波峰重疊時，它們的振幅相加，產生相長干涉，並且振幅大於各個波的振幅。

• 如果在某一點發生相長干涉，則該點的光強更大。

相消干涉

當一個波的波峰與另一個波的波谷重疊時，就會發生相消干涉。在發生相消干涉的點，光強最小。

干涉條件

• 在公式$\mathrm{I=I_1+I_2+2\sqrt{(I_1 I_2 )}cos \phi}$中，相位差$\mathrm{\phi=0,\pm 2π,\pm 4π,...}$是光強最大的條件。如果這兩列波在此相位差下重疊，則會發生相長干涉。

• 在公式$\mathrm{I=I_1+I_2+2\sqrt{(I_1 I_2 )}cos\: \phi}$中，相位差$\mathrm{\phi=\pm π,\pm 3π,\pm 5π,...}$是光強最小的條件。

• 如果$\mathrm{a_1=a_2=a}$，則公式$\mathrm{A=\sqrt{a_1^2+a_2^2+2a_1 a_2 cos \:\phi}}$變為

$$\mathrm{A=\sqrt{2a^2+2a^2 cos \phi}=\sqrt{2a^2 (1+cos\phi\: ϕ}}$$

$$\mathrm{A=\sqrt{2a^2 2cos^2 (\phi /2)}}$$

$$\mathrm{A=2acos(\phi /2)}$$

$$\mathrm{I\propto 4a^2 cos^2 (\phi/2)\:\:\:\:[I\propto A^2]}$$

$$\mathrm{I=4I_0cos^2 (\phi/2)\:\:\:\:[I_0\propto a^2]}$$

如果$\mathrm{I_{max}=4I_0, ϕ=0,±2π,±4π .....,}$

如果$\mathrm{I_{max}=0, ϕ=±π,±3π,±5π .....,}$

由此可見，兩列光波之間的相位差ϕ決定了交點處的強度。

薄膜干涉

• 考慮折射率為μ、厚度為d的薄膜。一束平行光以入射角i照射到薄膜上。

• 在光的入射點，它被分成兩部分，反射部分和折射部分。

• 折射區域進入薄膜，並在薄膜底部進一步分成兩部分。

• 另一部分在薄膜內部反射。由於薄膜多次發生內反射，因此會形成更多的反射和折射區域。透過薄膜反射和透射的光波產生單獨的干涉。

薄膜干涉

透射光的干涉

透射光波引起干涉並給出合強度。路程差為$\mathrm{\delta =2\mu d}$

由於透射光引起的相長干涉的條件是

$$\mathrm{2\mu d =n\lambda}$$

類似地，由於透射光引起的相消干涉的條件是

$$\mathrm{2\mu d =(2n-1)\frac{\lambda}{2}}$$

反射光的干涉

理論和實驗都證明，穿過稀疏介質並被緻密介質反射的光具有π的相位差。

反射光必須具有$\mathrm{\frac{λ}{2}}$的額外路程差。路程差為$\mathrm{\delta =2\mu d}$

由反射光引起的相長干涉的條件是

$$\mathrm{2μd+\frac{λ}{2}=nλ}$$

由反射光引起的相消干涉的條件是

$$\mathrm{2μd+\frac{λ}{2}=(2n+1)\frac{λ}{2}}$$

複色光中的干涉

• 在複色光（白光）中進行的干涉會導致螢幕上出現不同顏色的線條。

• 這是因為不同的顏色具有不同的波長。但是，中心線始終顏色明亮且為白色。

• 這是因為所有落在中心O上的顏色都具有零路程差。因此，對於所有顏色，只有相長干涉在O點發生，並且中心看起來很亮。

結論

光的現象、反射和折射只能基於波動光學來解釋。當兩列光波相互疊加時，某些點光強增加，其他點光強減弱的現象稱為光的干涉。疊加是指光波的相加。在複色光（白光）中進行的干涉會導致螢幕上出現不同顏色的線條。這是因為不同的顏色具有不同的波長。如果在某一點發生相長干涉，則該點的光強更大。

常見問題

Q1. 解釋光的散射

答：散射或電磁輻射的散射是指光波在穿過光介質、介質中的缺陷或與另一種介質的介面時，以意想不到的方向散射的現象。

Q2. 什麼是負折射？

答：如果具有方向性和均勻特性的材料介質的磁導率和介電常數具有負值，則該介質中的光折射將為負值，這與超材料不同。

Q3. 什麼是衍射？

答：波在障礙物邊緣彎曲並進入障礙物幾何陰影的現象稱為衍射。衍射是包括聲波在內的所有波的共同特性。

Q4. 為什麼水上的油膜和肥皂泡會呈現出迷人的顏色？

答：這些顏色的原因是白光射線在薄膜的表面和底部之間多次反射而產生的干涉。這些顏色取決於光的入射角、薄膜的折射率和薄膜的厚度。

Q5. 定義相干光源

答：為了使兩個波源成為相干光源，它們必須產生具有相同相位差或相同相位的波。此外，這兩個波源必須產生相同頻率或波長的波（單色）。