伯努利原理

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簡介

伯努利原理可以用簡單的解釋來理解：當流體從大直徑管道流向小直徑管道時，流體的速度會大大增加。是的，這是真的，但就這麼簡單嗎？一點也不。這個原理相當複雜，許多公式和因素控制著它。全世界有許多應用利用了這個美麗的原理。解釋伯努利原理的一個常見例子是，當火車經過站臺時，如果你站在站臺邊上，你會感覺到被火車吸過去，這就是由於這個原理。運動的火車在其附近造成低壓。這種低壓將附近的物體拉向它。讓我們在這篇文章中詳細瞭解伯努利原理。

什麼是伯努利原理？

該原理指出，在流線型流體流動中，沿流線的各種能量之和是相同的且恆定的。這三種能量是動能、勢能和施加於流體的外部壓力。假設管道在某一點從地面升起，那麼由於高度差，管道的這一部分會增加更多的勢能。當管道在流線型中直徑減小時，流體速度會增加，結果動能會增加。

伯努利原理公式

這個概念的公式或多或少與能量守恆定律有關。流線型流體流動在任何時間和管道位置的總能量都是相等的。正如您參考下圖所示，管道的中心部分較窄，您可以觀察到該部分流體的速度以及動能更大。因此，這裡有一些可以辨別的推論。

當管道直徑減小時，橫截面積減小，流速和壓力增加，流量減小。

$$\mathrm{P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=constant}$$

伯努利方程的推導

處理該方程時需要記住的兩個標準是：流體不應具有粘性，並且流體流動應為層流。參考下圖，我們將推匯出伯努利方程。

anonymous, BernoullisLawDerivationDiagram, CC BY-SA 3.0

為了使流體流動發生，我們知道會做外部功，並且這項功與其他功（如重力）協商後，會導致沿流體路徑的壓力差。因此，所做的功由下式給出

$$\mathrm{W=F_1 dx_1-F_2 dx_2}$$

$\mathrm{dx_1=}$ 窄管長度

$\mathrm{dx_2=}$ 寬管長度

壓力等於單位面積上的力。

即 $\mathrm{P=\frac{F}{A}}$

所以

$$\mathrm{F=P×A}$$

將力代入上述方程，

$$\mathrm{dW=P_1 A_1 dx_1-P_2 A_2 dx_2}$$

$$\mathrm{dW=P_1 dV-P_2 dV=(P_1-P_2 )dV }$$

$$\mathrm{dV=Adx}$$

動能的變化表示如下。

$$\mathrm{dK=\frac{1}{2}m_1v_1^2-\frac{1}{2}m_2v_2^2}$$

注意，m是流體一部分的質量，v是速度。

由於 $\mathrm{mass = density\:\times \:volume}$

$$\mathrm{dK=\frac{1}{2}\rho dV(v_2^2-v_1^2)}$$

現在找到勢能的變化，

$$\mathrm{ dU=mgh_2-mgh_1=ρdVg(h_2-h_1)\:\:\:\:dW=dK+dU}$$

$$\mathrm{(P_1-P_2)dV=\frac{1}{2}\rho dV(v_2^2-v_1^2)}$$

在兩邊消去dV，我們得到

$$\mathrm{(P_1-P_2)=\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2 )+\rho g(h_2-h_1)}$$

重新排列上述方程，我們得到如下所示的伯努利方程。

$$\mathrm{P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=P_2+ \frac{1}{2} \rho v_2^2+\rho gh_2}$$

連續性原理

管道橫截面積與流體在任何點的速度的乘積始終是一個常數。這就是連續性原理。如果$\mathrm{A_1}$和$\mathrm{A_2}$是兩端的橫截面積，$\mathrm{V_1}$和$\mathrm{V_2}$是流體在相應端的流速，那麼我們可以寫成：

$$\mathrm{A_1 V_1 = A_2 V_2}$$

伯努利原理的應用

該原理的基本原理被應用於飛機空氣動力學的設計要素中，用於流體動力學的專家研究和實驗，以及渡輪的設計研究（兩艘船並排系在一起）等。

能量守恆與伯努利方程之間的關係

該方程說明了在層流流體流動中，當流速增加時，壓力降低的原理。因此，對於非粘性流體，能量守恆在運動能量、靜態能量和壓力能量之間以相互的方式發生。

恆定深度下的伯努利方程

當考慮“恆定深度”的情況時，這是考慮方程變化的一種獨特方式。在這種情況下，我們需要使兩個高度h1和h2相等。即h1=h2。然後方程簡化為：

$$\mathrm{P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=P_1+\frac{1}{2}\rho v_2^2}$$

靜態流體的伯努利方程

該方程可應用於靜態流體，其中流體不流動。它是靜態的。這意味著，我們可以對方程中的$\mathrm{v_1}$和$\mathrm{v_2}$賦予0值。然後方程簡化為：

$$\mathrm{P_1+\rho gh_1=P_2+\rho gh_2}$$

伯努利原理示例

每當物體發生偏離，無論是出於良好目的還是作為自然反應，並且這是由於空氣或非粘性流體的運動造成的，那麼那裡就包含了伯努利原理。

• 飛機升力是由於螺旋槳在機翼下產生的高壓空氣產生低壓，從而將飛機抬升。

• 當龍捲風襲擊固定屋頂時，由於龍捲風在屋頂上方的速度，壓力降低，屋頂就會飛走。

• 板球的旋轉是由於投球手投球的特定方式，以及投球手將球的一個半球拋光得非常光亮，而保持球的另一個半球粗糙的原因。

• 快速行駛的火車會因其極高的速度在其路徑上產生一段時間內的低壓區域而產生拉力。煙囪、噴霧器等等，你有很多日常生活中伯努利原理的例子。

結論

伯努利原理適用於平穩流動的流體。當流體流過具有兩個橫截面積的管道時，較小直徑的管道會為流體創造更大的速度和壓力，而流量會減小。這種現象可以在日常生活中許多情況下觀察到。由於該原理來自能量守恆原理，並定義了一個方程來描述其作用，因此該原理被應用於許多關鍵應用設計中，例如飛機的空氣動力學。

常見問題

Q1. 流體的水平流動與伯努利原理有何關係？

A1. 水平流動可以視為恆定深度。您必須在方程中取$\mathrm{h_1=h_2}$。

Q2. 什麼是夾帶裝置？

A2. 夾帶裝置是使用外力使高壓流體流動的裝置，然後將一種流體夾帶到另一種流體中。例如，車輛的噴霧器、噴漆器和化油器。

Q3. 伯努利方程中應用了哪三個水頭？

A3. 速度水頭、壓力水頭和高度水頭。

Q4. 能量守恆定律是什麼，伯努利原理是從哪裡推匯出來的？

A4. 能量守恆定律指出作用於物體的所有能量的總和是恆定的原理。當物體的勢能（隨著高度增加）增加時，其相關的動能將減小，以使總和保持恆定。能量守恆定律的方程是

$$\mathrm{\frac{1}{2}mv^2+mgh=constant}$$

Q5. 文丘裡效應是什麼？

A5. 它是一種狹窄的管道，由於產生的低壓，用於增加流體的速度。文丘裡效應是我們在一直討論的原理的另一個名稱。