200根木頭堆疊如下：底層有20根木頭，下一層有19根，再下一層有18根，依此類推（見圖）。這200根木頭堆了多少層？最上面一層有多少根木頭？

已知

200根木頭堆疊如下：底層有20根木頭，下一層有19根，再下一層有18根，依此類推。

要求

我們需要找出這200根木頭堆了多少層，以及最上面一層有多少根木頭。

解題步驟

設層數為 $n$

設最上面一層的木頭數為 $a$

已知：

$a_{n}=20, d=1$ 且 $S_{n}=200$

我們知道：

$a_{n}=a+(n-1) d$

$20=a+(n-1) 1$

$a=20-n+1$

$a=21-n$

$400=n[a+20]$

$n a+20 n=400$

$n(21-n)+20 n=400$

$21 n-n^{2}+20 n=400$

$n^{2}-41 n+400=0$

$n^{2}-25 n-16 n+400=0$

$n(n-25)-16(n-25)=0$

$(n-16)(n-25)=0$

$n-16=0$ 或 $n-25=0$

$n=16$ 或 $n=25$

如果 $n=16$，則：

$a+(n-1) d=20$

$a+(16-1) d=20$

$a+15 d=20$

$a+15(1)=20$

$a=20-15=5$

如果 $n=25$，則：

$a+(25-1) d=20$

$a+24(1)=20$

$a=20-24=-4$，這不可能。

因此，層數為16，最上面一層有5根木頭。

教程點

更新時間： 2022年10月10日

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