泰勒級數

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簡介

函式的泰勒級數或泰勒展開式是有限項的和，這些項用函式在單個點的導數表示。無限項的多項式或函式是泰勒級數。每個後續項的指數或次數都將大於其前面項的指數或次數。

$$\mathrm{f(a)\:+\:\frac{f'(a)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$$

對於實值函式 f(x)，其中 f'(a)、f"(a)、f"'(a) 等表示函式在點 a 處的導數，提供了上述泰勒級數展開式。如果點“a”的值為零，則泰勒級數也稱為麥克勞林級數。

什麼是泰勒級數？

假設 f(x) 是一個實數或複合函式，並且它是實數或複合鄰域數的可微函式。然後，泰勒級數描述了以下冪級數：

$\mathrm{f(x)\:=\:f(a)\:+\:\frac{f'(as)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$

這裡，

• f(x) = 實數或複數值函式，在實數或複數“a”處無限可微，是冪級數

• n = 級數中項的總數

泰勒級數可以用西格瑪符號表示為

$$\mathrm{f(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty\:\frac{f^{n}(a)}{n!}\:(x\:-\:a)^{n}}$$

其中

$\mathrm{f^{n}(a)\:=\:n^{th}}$

n! = n 的階乘。

如何找到泰勒級數？

如果我們想找到函式 f(x) 的泰勒級數，可以按照以下步驟找到泰勒級數。

步驟 1 − 確定 f(x) 的前幾個導數。

公式顯示了 f(a)。這是 x = a 時 f(x) 的值。接下來，我們觀察 f' (a)。這是為 x = a 計算的 f(x) 的一階導數。像這樣，我們將根據需要計算 f "(x)、f "(x) 等。

步驟 2 − 計算函式在 x = a 時的導數

在前面步驟的每個結果中用 a 代替 x。我們使用初始導數獲得 f(a) − $\mathrm{f'(a)\:,\:f''(a)\:,\:f'''(a).........}$

步驟 3 − 完成泰勒級數表示式的右側。

由此，我們現在將構建泰勒級數 −

$$\mathrm{f(x)\:=\:f(a)\:+\:\frac{f'(as)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$$

步驟 4 − 使用求和符號寫出結果。因此，您將獲得最終的泰勒級數。

查詢一些常用函式的泰勒級數

讓我們找到一些常用函式的泰勒級數。

• $\mathrm{\sin\:x}$

x=0 的泰勒級數

$\mathrm{f(x)\:=\:\tan\:x}$

步驟 1 − 確定 f(x) 的前幾個導數。

$\mathrm{f'(x)\:=\:\sec^{2}\:x}$

$\mathrm{f''(x)\:=\:2\sec^{2}(x)\:\tan(x)}$

$\mathrm{f'''(x)\:=\:-4\sec^{4}\:+\:6\sec^{4}(x)}$

$\mathrm{f''''(x)\:=\:-8\sec^{2}(x)\tan(x)\:+\:24\sec^{2}\tan(x)}$

步驟 2 − 計算函式在 $\mathrm{x\:=\:a\:=\:0}$ 時的導數

$\mathrm{f(0)\:=\:\tan\:0\:=\:0}$

$\mathrm{f'(0)\:=\:\sec^{2}\:0\:=\:1}$

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:=\:\frac{f'(0)}{1!}}$

$\mathrm{f'''(x)\:=\:-\cos\:0\:=\:-1}$

$\mathrm{f''''(x)\:=\:\sin\:0\:=\:0}$

步驟 3 − 完成泰勒級數表示式的右側。

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:+\:\frac{f'(0)}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{f"(0)}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{f'''(0)}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\:\frac{f'''(0)}{4!}(x\:-\:0)^{4}......}$

$\mathrm{f(x)\:=\:\frac{1}{1!}(x)\:-\:-\:\frac{1}{3!}(x)^{3}\:+\:\frac{1}{5!}(x)^{5}\:-\:\frac{1}{7!}(x)^{7}\:+\:......}$

$\mathrm{\sin\:x\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n\:+\:1)!}(x)^{2n\:+\:1}\:=\:\frac{1}{1!}(x)\:-\:\frac{1}{3!}(x)^{3}\:+\:\frac{1}{5!}(x)^{5}\:-\:\frac{1}{7!}(x)^{7}}$

• $\mathrm{\tan\:x}$

x=0 的泰勒級數

$\mathrm{f(x)\:=\:\tan\:x}$

步驟 1 − 確定 f(x) 的前幾個導數。

$\mathrm{f'(x)\:=\:\sec^{2}\:x}$

$\mathrm{f''(x)\:=\:2\sec^{2}(x)\:\tan\:(x)}$

$\mathrm{f''(x)\:=\:-4\sec^{2}(x)\:+\:6\sec^{4}(x)}$

$\mathrm{f''''(x)\:=\:-8\sec^{2}(x)\tan(x)\:+\:24\sec^{4}(x)\:\tan(x)}$

步驟 2：計算函式在 x = a = 0 時的導數。

$\mathrm{f'(0)\:=\:\tan\:0\:=\:0}$

$\mathrm{f'(0)\:=\:\sec^{0}\:=\:1}$

$\mathrm{f''(0)\:=\:2\sec^{2}(0)\:\tan(0)\:=\:0}$

$\mathrm{f'''(0)\:=\:-4\sec^{2}(0)\tan(0)\:+\:6\sec^{4}(0)\:=\:2}$

$\mathrm{f''''(0)\:=\:-8\sec^{2}\:\tan(0)\:+\:24\sec^{4}\:\tan(0)\:=\:0}$

步驟 3 − 完成泰勒級數表示式的右側

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:+\:\frac{f'(0)}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{f"(0)}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{f'''(0)}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\:\frac{f'''(0)}{4!}(x\:-\:0)^{4}......}$

$$\mathrm{f(x)\:=\:\frac{1}{1!}(x)\:+\:\frac{2}{2\times\:3}(x)^{3}\:+\:\frac{2\times\:8}{2\times\:3\times\:4\times\:5}(x)^{5}}$$

$$\mathrm{f(x)\:=\\frac{1}{1}(x)\:+\:\frac{1}{3}(x)^{3}\:+\:\frac{2}{15}(x)^{5}\:+\:......}$$

$$\mathrm{\tan\:x\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}(x)^{n}\:=\:\frac{1}{1}(x)\:+\:\frac{1}{3}(x)^{3}\:+\:\frac{2}{15}(x)^{5}\:+\:.....}$$

• $\mathrm{e^{\bigwedge}x}$

x=0 的泰勒級數

$\mathrm{f(x)\:=\:e^{x}}$

步驟 1 − 確定 f(x) 的前幾個導數。

$\mathrm{}$

步驟 2 − 計算函式在 x = 0 時的導數。

$\mathrm{f(0)\:=\:f'(0)\:=\:f'(0)\:=\:f''(0)\:=\:f'''(0)\:=\:f''''(0)\:=\:e^{0}\:=\:1}$

步驟 3 − 完成泰勒級數表示式的右側。

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:+\:\frac{f'(0)}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{f''(0)}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{f'''(0)}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\frac{f''''(0)}{4!}(x\:-\:0)^{4}\:+\:.....}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(x)\:=\:1\:+\:\frac{1}{1!}(x)\:+\:\frac{1}{2!}(x)^{2}\:+\:\frac{1}{3!}(x)^{3}\:+\:\frac{1}{4!}(x)^{4}\:+\:.....}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:e^{x}\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(x)^{n}\:=\:1\:+\:\frac{1}{1!}(x)\:+\:\frac{1}{2!}(x)^{2}\:+\:\frac{1}{3!}(x)^{3}\:+\:\frac{1}{4!}(x)^{4}\:+\:.....}$

泰勒級數的性質

性質 1

奇函式的泰勒級數中僅包含 x 的奇次冪，偶函式的泰勒級數中僅包含 x 的偶次冪。

性質 2

透過代入現有的級數，可以建立一個新的級數。

性質 3

• 可以透過加、減、乘或除多個現有的級數來組合成一個新的級數。

• 在除法方面，我們必須使用長除法或綜合除法。只要沒有除以零，結果就是準確的。

性質 4

可以透過逐項對函式的泰勒級數進行微分或積分來對函式進行積分或微分。

已解決示例

1) 查詢 $$ 的泰勒級數

答案 − 我們必須計算 cos x 的導數並在 x = 0 處進行評估。

$\mathrm{f(x)\:=\:\cos\:x\:\Longrightarrow\:f(0)\:=\:1}$

$\mathrm{f'(x)\:=\:-\sin\:x\:\Longrightarrow\:f'(0)\:=\:0}$

$\mathrm{f''(x)\:=\:-\sin\:x\:\Longrightarrow\:f''(0)\:=\:-1}$

$\mathrm{f'''(x)\:=\:-\cos\:x\:\Longrightarrow\:f'''()}\:=\:0$

$\mathrm{f''''(x)\:=\:cos\:x\:\Longrightarrow\:f''''(0)\:=\:1}$

$\mathrm{f{(5)}(x)\:=\:-\:\sin\:x\:\Longrightarrow\:f^{(5)}(0)\:=\:0}$

$\mathrm{f^{(6)}(x)\:=\:-\:\cos\:x\:\Longrightarrow\:f^{(6)}(0)\:=\:-1}$

完成泰勒級數表示式的右側。

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:+\:\frac{f'(0)}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{f''(0)}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{f'''(0)}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\frac{f''''(0)}{4!}(x\:-\:0)^{4}\:+\:.....}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:=\:1\:+\:\frac{0}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{1}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{0}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\frac{1}{4!}(x\:-\:0)^{4}\:+\:.....}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:=\:1\:-\:\frac{1}{2!}(x)^{2}\:+\:\frac{1}{4!}(x)^{4}\:+\:......}$

$$\mathrm{\cos\:x\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}(x)^{n}\:=\:1\:-\:\frac{1}{2!}(x)^{2}\:+\:\frac{1}{4!}(x)^{4}\:-\:......}$$

$$\mathrm{\cos\:x\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}(x)^{2n}}$$

結論

• 無限項的多項式或函式是泰勒級數。每個後續項的指數或次數都將大於其前面項的指數或次數。

• 然後，泰勒級數描述了以下冪級數：

$$\mathrm{f(x)\:=\:f(a)\:+\:\frac{f'(a)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$$

• 泰勒級數可以用西格瑪符號表示為

$$\mathrm{f(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}\:(x\:-\:a)^{n}}$$

• 如果我們想找到函式 f(x) 的泰勒級數，可以按照以下步驟找到泰勒級數。

  • 確定 f(x) 的前幾個導數

  • 計算函式在 x = a 時的導數。

  • 完成泰勒級數表示式的右側。

  • 使用求和符號寫出結果。因此，您將獲得最終的泰勒級數。

常見問題

1. 什麼是泰勒級數？

無限項的多項式或函式是泰勒級數。每個後續項的指數或次數都將大於其前面項的指數或次數。

2. 泰勒級數公式是什麼？

$\mathrm{f(x)\:=\:f(a)\:+\:\frac{f'(a)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$

或

$$\mathrm{f(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}\:(x\:-\:a)^{n}}$$

3. 泰勒級數和麥克勞林級數的公式是否等價？

泰勒級數將函式表示為無限項的和，這些項是從函式在單個點的導數值計算出來的。另一方面，麥克勞林級數提供了函式在零處的泰勒級數展開式。

4. 誰建立了泰勒級數公式？

英國數學家布魯克·泰勒在 1715 年首次明確地發展了泰勒級數，此前蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷戈裡首先提出了這個想法。

5. 我們能否將多個級數合併成一個級數？

可以透過加、減、乘或除多個現有的級數來組合成一個新的級數。