商

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簡介

除法是將（被除數）分成相同數量的份數（除數）。除法在現實生活中隨處可見。當一個數除以它本身時，結果為 1。例如：4/4 = 1。當一個數除以 1 時，結果為該數本身。例如：15/1=15。當 0 除以一個數時，結果為 0。例如：0÷14 = 0。當一個數除以 0 時，結果沒有意義。例如：7÷0 = 未定義。

除法演算法

要除一個數，需要遵循兩個步驟 -

步驟1：長除法

長除法用於將一個大整數除以不能再除的較小整數。

步驟2：除法演算法

除法演算法指出，“設 a、b 為整數，其中 b >0，則存在唯一的整數 q 和 r 使得

• a = b q + r

• $\mathrm{0 \leq r < 0}$

除法中使用了四個主要的術語。它們是被除數、除數、商和餘數。

更簡單的形式，我們可以將除法演算法寫成

被除數(a) = (除數 (b) × 商) + 餘數

術語	定義	表示
被除數	需要被除的整數。	a
除數	除被除數的整數。	b
商	透過除兩個數形成的新整數。	q
餘數	不能再被除的整數。	r

商

商這個術語在除法中很常見。商是兩個整數相除得到的整數。當一個數除以另一個數且餘數為零時，則商為答案。當一個數除以另一個數且有餘數時，則商為混合分數中的整數部分，或者它將是一個小數。商可以大於除數或整數 (b)，但小於被除數或整數 (a)。

商作為分數

當一個數除以另一個數時，整數結果為分數。當分數被簡化時，如果得到的分數是真分數，則結果為商。如果結果是假分數，則將其轉換為混合分數，因為混合分數中的整數部分就是商。要將假分數轉換為混合分數，我們需要使用除法演算法。

示例

• $\mathrm{3÷5 = \frac{3}{5} (真分數)}$

• $\mathrm{12÷4 = \frac{12}{4}=3 (整數)}$

• $\mathrm{43÷6=7\frac{1}{6}(混合分數)}$

如果一個分數除以另一個分數以找到分數的商，則需要遵循三個步驟 -

步驟 1 - 將分數取倒數，將其改為乘法，並將第二個數的倒數寫下來。

步驟 2 - 現在，將分子和分母相乘。

步驟 3 - 求分子和分母的最大公約數以找到最簡形式。

得到的結果就是分數的商。

示例：求 $\mathrm{\frac{15}{4}÷\frac{4}{5}}$ 的商

解答

取倒數，

$$\mathrm{\frac{15}{4}÷\frac{4}{5}=\frac{15}{4}\times \frac{5}{4}}$$

將分子和分母相乘

$$\mathrm{\frac{15\times 5}{4\times 4}=\frac{75}{16}}$$

透過求最大公約數簡化

(75,16) 的最大公約數 = 1

$$\mathrm{\frac{75\times 1}{16\times 1}=\frac{75}{16}}$$

要將假分數轉換為混合分數，可以使用長除法

$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:4\\\:16)\overline{75}\:\\\:\:\:\:\:\:\:\underline{64}\\\\\:\:\:\:\:\underline{11}}$$

根據除法演算法，

$$\mathrm{\frac{被除數}{除數} = 商 +\frac{餘數}{除數}}$$

$$\mathrm{=4\frac{11}{16}}$$

商作為小數

小數由整數部分和小數部分組成。小數點將整數和小數部分隔開。

• 小數點後的數字有不同的位值，從十分之一 $\mathrm{(\frac{1}{10})}$、百分之一 $\mathrm{(\frac{1}{100})}$、千分之一 $\mathrm{(\frac{1}{1000})}$ 開始，其值從左到右遞增，這部分是小數部分。

• 小數點前的數字有不同的位值，從個位 (1)、十位 (10)、百位 (100)、千位 (1000) 開始，其值從右到左遞增，這部分是整數部分。

當兩個整數相除時，答案必須是整數，如果不是，則答案將是小數。當一個整數除以另一個整數時，如果它們沒有公倍數，則必須在商中新增一個小數點，並在餘數中新增 0。

示例：求 16÷3 的商

解答

$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:5.33\\\:3)\overline{16}\:\\\:\:\:\:\:\underline{15}\\\\\:\:\:\:\:\ 10\\\\\:\:\:\:\:\:\underline{09}\\\\\:\:\:\:\:\:\ 10\\\\\:\:\:\:\:\:\:\underline{09}\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\ 1}$$

當 16÷ 3 時，商為小數 5.33。

要找到商作為當一個小數除以另一個小數時，步驟如下

• 步驟 1：檢查除數是否為整數，如果不是，將其轉換為整數。

• 步驟 2：乘以 10 的冪去除除數中的小數。

• 步驟 3：乘以相同的 10 的冪到被除數。

• 步驟 4：使用長除法

• 步驟 5：檢查商中的小數點與被除數中的一致。

例題

1. 求 12.53÷3.5 的商

解答

要將除數從小數轉換為整數，將其乘以 10 的冪。

3.5 ×10¹= 35

現在將被除數乘以相同的 10 的冪，

12.53 × 10¹= 125.3

透過長除法，

$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:3.58 \\\:35)\overline{125.3}\:\\\:\:\:\:\:\:\:\underline{105}\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\ 203\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{175}\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\ 280\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{280}\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{0}}$$

125.3 除以 35 的商為 3.58

結論

一個數的商是在一個數除以另一個數時的答案，它可以是整數、分數或小數。除法演算法用於將假分數轉換為混合分數，這有助於在分數中找到整數部分（商）。我們可以獲得商作為分數以及小數。

常見問題

1. 什麼是餘數？

餘數是一個部分或數量的一部分，不能再分成更小的部分。在混合分數中，餘數將位於分子位置。

2. 什麼時候商的值接近 1？

當分子和分母的值相同時，商的值將等於 1。如果分子和分母的值彼此接近，則該值將接近 1。

3. 什麼時候商大於 1？

如果被除數的值大於除數的值，則商大於 1。例如：15÷3 = 5，這裡 5 大於 1。

4. 當較小的數除以較大的數時，商是什麼樣的？

當較小的數除以較大的數時，商將小於 1。例如：10÷ 100 = 1÷10 = 0.1，小於 1。

5. 如何找到相容的商？

一個數的商可以透過找到更接近除數的數來輕鬆找到。例如，要找到 18÷4 的商，最接近的數是 16。因此，16 是它的相容數。