一排房屋從 1 到 49 連續編號。證明存在一個 X 值，使得編號為 X 的房屋之前的房屋編號之和等於編號為 X 的房屋之後的房屋編號之和。

已知：一排房屋從 1 到 49 連續編號

要求：證明存在一個 X 值，使得編號為 X 的房屋之前的房屋編號之和等於編號為 X 的房屋之後的房屋編號之和。

設存在一個 x 值，使得編號為 x 的房屋之前的房屋編號之和等於其之後的房屋編號之和。

也就是說，$1\ +\ 2\ +\ 3\ +\ .\ .\ .\ .\ +\ ( x\ –\ 1)=( x+1)+( x+2)+\ .\ .\ .\ .\ .\ + 49$

$\therefore 1+2+3+\ .\ .\ .\ .\ +( x–1)=[1+2+\ ....+x+( x–1)+....+49] \ –\ ( 1+2+3+.\ .\ .\ .\ +x)$

已知等差數列 n 項和 $S_{n} =\frac{n}{2}( a+l)$   [a 是等差數列的首項，l 是末項]

$\frac{x-1}{2}( 1+x-1) =\frac{49}{2}( 1+49) -\frac{x}{2}( a+l)$

$\therefore  x( x\ –\ 1) \ =\ 49\ \times \ 50\ –\ x( 1\ +\ x)$

$\therefore  x( x\ –\ 1) \ +\ x( 1\ +\ x) \ =\ 49\ \times \ 50$

$\therefore  x( x-1+1+x) =49\times 50$

$2x^{2} = 49\times50$

$\therefore x^{2} =49\times 25$

$\Rightarrow x=\sqrt{49\times 25}$

$\therefore x=7\times 5=35$

由於 x 不是分數，滿足給定條件的 x 值存在，且等於 35。