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法學證明：\( \frac{\cot A-\cos A}{\cot A+\cos A}=\frac{\operatorname{cosec} A-1}{\operatorname{cosec} A+1} \)
待辦事項
我們需要證明\( \frac{\cot A-\cos A}{\cot A+\cos A}=\frac{\operatorname{cosec} A-1}{\operatorname{cosec} A+1} \).
解答
我們知道：
$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此：
考慮左邊 (LHS)：
$\frac{\cot \mathrm{A}-\cos \mathrm{A}}{\cot \mathrm{A}+\cos \mathrm{A}}=\frac{\frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}-\cos \mathrm{A}}{\frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}+\cos \mathrm{A}}$
$=\frac{\frac{\cos \mathrm{A}-\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}}{\frac{\cos \mathrm{A}+\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}}$
$=\frac{\cos \mathrm{A}(1-\sin \mathrm{A})}{\cos \mathrm{A}(1+\sin \mathrm{A})}$
$=\frac{1-\sin \mathrm{A}}{1+\sin \mathrm{A}}$
考慮右邊 (RHS)：
$\frac{\operatorname{cosec} A-1}{\operatorname{cosec} A+1}=\frac{\frac{1}{\sin A}-1}{\frac{1}{\sin A}+1}$
$=\frac{\frac{1-\sin A}{\sin A}}{\frac{1+\sin A}{\sin A}}$
$=\frac{1-\sin A}{1+\sin A}$
這裡：
LHS = RHS
證畢。
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