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法學研究證明$\frac{\cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}-\sin 10^{\circ}}=\tan 55^{\circ}$。
待辦事項
我們必須證明$\frac{\cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}-\sin 10^{\circ}}=\tan 55^{\circ}$。
解答
我們知道：
$\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$
$\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B}$
左邊 (LHS)
$\frac{\cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}-\sin 10^{\circ}}$
將分子和分母除以$\cos 10^{\circ}$，得到：
$\frac{\cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}-\sin 10^{\circ}}=\frac{1+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 10^{\circ}}$
$=\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ}\cdot\tan 10^{\circ}}$ ($\tan 45^{\circ}=1$)
$=\tan(45^{\circ}+10^{\circ})$
$=\tan 55^{\circ}$
$=$右邊 (RHS)
證畢。
更新於：2022年10月10日
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