如果 $x^2-16x-59 = 0$，那麼 $(x-6)^2+[\frac{1}{(x-6)^2}]$ 的值是?

已知： 方程：$x^2 – 16x – 59 = 0$。

待求： 求 $(x – 6)^2+[\frac{1}{(x – 6)^2}]$ 的值。

解

令 $(x-6)=t$

$\Rightarrow x=t+6\ \ ........( 1)$

$x^2-16x+59=0$

代入方程 $( 1)$ 中 $x$ 的值

$\Rightarrow (t+6)^2-16(t+6)+59=0$

$\Rightarrow t^2+36+12t-16t-96+59=0$

$\Rightarrow t^2-4t-1=0$

對上式兩邊同時除以$t$，

$\Rightarrow t-4-\frac{1}{t}=0$

$\Rightarrow t-\frac{1}{t}=4$

對上式平方，

$\Rightarrow (t-\frac{1}{t})^2=4^2$

$\Rightarrow t^2+\frac{1}{t^2}-2=16$

$\Rightarrow t^2+\frac{1}{t}^2=18$

$\therefore (x-6)^2+[\frac{1}{(x-6)^2}]=18$。
 

更新於： 10-Oct-2022

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