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法律研究如果\( \sqrt[3]{3\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}=2 \)，則\( \left(x-\frac{1}{x}\right) \)的值是A. \( \frac{728}{9} \)
B. \( \frac{520}{27} \)
C. \( \frac{728}{27} \)
D. \( \frac{328}{15} \)
已知
\( \sqrt[3]{3\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}=2 \)
要求
我們必須找到\( \left(x-\frac{1}{x}\right) \)的值。
解答
\( \sqrt[3]{3\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}=2 \)
兩邊立方，得到：
$3(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})=2^3$
$3(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})=8$
$(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})=\frac{8}{3}$
設 $\sqrt[3]{x}=k$
這意味著：
$k-\frac{1}{k}=\frac{8}{3}$
$\frac{k(k)-1}{k}=\frac{8}{3}$
$3(k^2-1)=8(k)$
$3k^2-8k-3=0$
$3k^2-9k+k-3=0$
$3k(k-3)+1(k-3)=0$
$(3k+1)(k-3)=0$
$3k+1=0$ 或 $k-3=0$
$3k=-1$ 或 $k=3$
$k=\frac{-1}{3}$ 或 $k=3$
因此：
$\sqrt[3]{x}=\frac{-1}{3}$ 或 $\sqrt[3]{x}=3$
兩邊立方，得到：
$x=(\frac{-1}{3})^3$ 或 $x=3^3$
$x=\frac{-1}{27}$ 或 $x=27$
現在：
當 $x=\frac{-1}{27}$ 時
$x-\frac{1}{x}=\frac{-1}{27}-\frac{1}{\frac{-1}{27}}$
$=27-\frac{1}{27}$
$=\frac{27(27)-1}{27}$
$=\frac{729-1}{27}$
$=\frac{728}{27}$
當 $x=27$ 時
$x-\frac{1}{x}=27-\frac{1}{27}$
$=\frac{27(27)-1}{27}$
$=\frac{729-1}{27}$
$=\frac{728}{27}$
選項 C 是正確答案。
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