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法律研究最佳化最長路徑問題是 NP 完全的
“升級最長路徑”問題是一個計算上具有挑戰性的問題，被歸類為 NP 完全問題。在這個問題中，給定一個帶權邊的圖，目標是從一個預定的起始節點到一個結束節點找到最長路徑，同時最大化邊權重的總和。由於可能的路徑數量呈指數級增長，因此沒有已知的能夠有效解決所有情況的多項式時間演算法。相反，研究人員依靠啟發式演算法和近似演算法來尋找接近最優解的方案。這個問題的難度在運輸、物流和專案排程等各個領域都有實際意義。
使用的方法
從哈密頓路徑問題歸約
使用已知的 NP 完全問題
從哈密頓路徑問題歸約
證明“升級最長路徑”問題是 NP 完全的一種方法是從一個著名的 NP 完全問題，即哈密頓路徑問題進行歸約。哈密頓路徑問題旨在確定給定圖中是否存在一條恰好訪問每個頂點一次的路徑。
演算法
考慮一個哈密頓路徑問題的例項，即圖 G。
構造一個新的圖 G'，它與 G 相同，具有相同的頂點和邊。
將 G' 中所有邊的權重設定為 1。
將“升級最長路徑”問題的起始和結束節點設定為 G' 中的任意兩個節點。
如果 G 存在哈密頓路徑，“升級最長路徑”問題在 G' 中的解將是相同的哈密頓路徑，其邊權重總和等於邊的數量，也等於頂點數減 1。
如果 G 不存在哈密頓路徑，那麼 G' 中的“最佳化最長路徑”將是從起始節點到結束節點的一條簡單路徑，其邊權重總和等於邊的數量，小於頂點數減 1。
這種歸約表明，解決“最佳化最長路徑”問題與解決哈密頓路徑問題一樣困難，這使得它成為 NP 完全問題。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <functional>
using namespace std;
bool hasHamiltonianPath(const vector<vector<int>>& graph, int
start, int finish) {
int n = graph.size();
vector<int> path;
vector<bool> visited(n, false);
function<bool(int)> dfs;
dfs = [&](int u) {
visited[u] = true;
path.push_back(u);
if (u == finish && path.size() == n)
return true;
for (int v = 0; v < n; ++v) {
if (!visited[v] && graph[u][v]) {
if (dfs(v))
return true;
}
}
visited[u] = false;
path.pop_back();
return false;
};
return dfs(start);
}
int main() {
int n = 5;
vector<vector<int>> graph(n, vector<int>(n, 0));
graph[0][1] = graph[1][0] = 1;
graph[1][2] = graph[2][1] = 1;
graph[2][3] = graph[3][2] = 1;
graph[3][4] = graph[4][3] = 1;
vector<vector<int>> graph_prime = graph;
int start = 0, finish = 3;
if (hasHamiltonianPath(graph, start, finish))
cout << "G has a Hamiltonian Path.\n";
else
cout << "G does not have a Hamiltonian Path.\n";
return 0;
}
輸出
G does not have a Hamiltonian Path.
使用已知的 NP 完全問題
另一種方法是透過從已知的 NP 完全問題（如最長路徑問題或旅行商問題（TSP））進行歸約來證明“最佳化最長路徑”問題是 NP 完全的。
演算法
給定一個最長路徑問題的例項，即圖 G 和一個表示期望路徑長度的整數 k。
構造一個新的圖 G'，它與 G 相同，具有相同的頂點和邊。
將 G' 中所有邊的權重設定為 1。
將“升級最長路徑”問題的起始和結束節點設定為 G' 中的任意兩個節點。
如果 G 存在長度為 k 的最長路徑，“最佳化最長路徑”問題在 G' 中的解將是相同的路徑，其邊權重總和等於 k。
如果 G 不存在長度為 k 的最長路徑，那麼 G' 中將不存在邊權重總和等於 k 的路徑。
由於最長路徑問題已知是 NP 完全的，因此這種歸約建立了“最佳化最長路徑”問題的 NP 完全性。
這兩種方法都表明“最佳化最長路徑”問題是 NP 完全的，因此，沒有已知的有效演算法能夠解決所有情況，這證明了它的計算複雜性。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
class Graph {
public:
int V; // Number of vertices
std::vector<std::vector<int>> adj;
Graph(int V) : V(V) {
adj.resize(V, std::vector<int>(V, 0));
}
void addEdge(int u, int v) {
adj[u][v] = 1;
adj[v][u] = 1;
}
bool hasEnhancedLongestWay(int k, int start, int end) {
return false;
}
};
int main() {
int V = 5; // Number of vertices
Graph G(V);
G.addEdge(0, 1);
G.addEdge(1, 2);
G.addEdge(2, 3);
G.addEdge(3, 4);
int k = 3;
int start = 0;
int end = 4;
bool hasEnhancedLongestWay = G.hasEnhancedLongestWay(k, start, end);
std::cout << std::boolalpha << hasEnhancedLongestWay <<
std::endl;
return 0;
}
輸出
false
結論
第一種方法涉及從著名的哈密頓路徑問題進行歸約。透過將哈密頓路徑問題的一個例項轉換為“最佳化最長路徑”問題的一個例項，我們證明了求解後者與求解前者一樣困難，從而建立了它的 NP 完全性。
方法二直接說明了從另一個已知的 NP 完全問題（最長路徑問題或旅行商問題（TSP））進行歸約。透過證明“最佳化最長路徑”問題可以轉換為這些 NP 完全問題，我們證明了它具有相同的計算複雜性，因此是 NP 完全的。
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