熱容：Cp 和 Cv 之間的關係

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介紹

熱容或熱容量是指改變物體溫度 1 個單位所需的熱量。熱容是材料的內在屬性，也可以描述為系統吸收熱量與溫度變化的比率。

定義熱容

當物體吸收熱量時，溫度升高；當釋放熱量時，溫度下降。物體的溫度衡量的是構成該物體的組分的總動能。當物體吸收熱量時，它會轉化為粒子組分的動能，導致溫度升高。因此，溫度變化與熱傳遞成正比。

使 1 摩爾任何物質的溫度發生 ΔT 變化所需的熱量 Q 由公式 Q=mCΔT 表示。這裡的常數 C 稱為物體的摩爾熱容。因此，任何物體的摩爾熱容被定義為使 1 摩爾該物體的溫度改變 1 個單位所需的熱能。它取決於系統的型別、大小和組成。

什麼是熱容 C、Cp 和 Cv？

比熱容 (C)

任何材料的比熱容被定義為“使單位質量的材料溫度改變 1 度所需的熱量”。

Q=mCΔT

因此，比熱容 C=Q/mΔT

它的單位是焦耳每開爾文千克，或 J/(KgK)

恆壓 (Cp)

摩爾恆壓熱容或 Cp 定義為在恆定壓力下，單位質量的材料在溫度發生變化時產生的或吸收的熱能。

在持續壓力下，δQ=dU+PdV（等壓過程）

Cp 可以表示為 -

$$\mathrm{Cp=[dH/dT]p}$$

其中

Cp 表示恆壓比熱。

dH 表示焓變。

dT 表示溫度變化。

恆容 (Cv)

摩爾恆容熱容縮寫為 Cv，是指在恆定體積下，物體在溫度發生微小變化時，每單位質量釋放/吸收的熱量。

在恆定體積下，dV=0，δQ=dU（等容過程）

Cv 可以寫成 -

$$\mathrm{Cv=[dU/dT]v}$$

其中，

Cv 是恆定體積下的比熱，而 dU 是系統內能的微小變化。

Cp 和 Cv 之間的關係

熱力學第一定律指出

Q=nCmΔT......(1)

方程 1 在恆定壓力 P 下變為

$$\mathrm{qP=nCpΔT}$$

此值等於焓變，即

qP=nCpΔT=ΔH......(2)

類似地，在恆定體積 V 下，

$$\mathrm{qV=nCvΔT}$$

此值等於內能的變化，即

qV=nCvΔT=ΔU......(3)

1 摩爾 (n=1) 理想氣體，

$$\mathrm{ΔH=ΔU+Δ(PV)}$$

$$\mathrm{ΔH=ΔU+Δ(RT)}$$

重新排列前面的方程得到

$$\mathrm{ΔH=ΔU+RΔT}$$

因此，ΔH=ΔU+RΔT

在前面的方程中，從方程 (2) 和 (3) 中代入 ΔH 和 ΔU 的值。(1)，

$$\mathrm{nCpΔT=nCvΔT+RΔT}$$

對於 (n=1)，上述方程可以表示為 -

$$\mathrm{CpΔT=CvΔT+RΔT}$$

使用 ΔT 作為公因子，然後

$$\mathrm{Cp×ΔT=(Cv+R)ΔT}$$

透過從兩邊去除 ΔT，

$$\mathrm{Cp=Cv+R}$$

$$\mathrm{Cp-Cv=R}$$

為什麼 Cp 大於 Cv？

Cp 和 Cv 表示理想氣體的比熱。它們表示使單位質量的溫度升高 1 度所需的熱量。

根據熱力學第一定律，

$$\mathrm{ΔQ=ΔU+ΔW}$$

其中，

ΔQ 是輸入物體的熱量，U 是內能的變化，W 是所做的功。

在恆定壓力下，吸收的熱量不僅用於提高內能，還用於做功。在恆定體積下，吸收的熱量僅用於提高內能，而不做任何功，因為（對於封閉系統）

$$\mathrm{W=PΔV}$$

其中 W 是完成的功。這裡，

$$\mathrm{ΔV=0}$$

（封閉系統也是恆定體積的重要條件之一）。因此，恆壓比熱大於恆定體積下的比熱，即

$$\mathrm{Cp>Cv }$$

結論

摩爾熱容的 SI 單位是焦耳每開爾文摩爾 (J/Kmol)，通常稱為 JK^-1 mol^-1。量熱計是測量熱量的工具。由於熱量是在恆定壓力下傳遞的，因此恆壓摩爾熱容 Cp 總是大於恆定體積摩爾熱容 Cv。熱膨脹是指物體尺寸隨溫度升高而增大的現象。

常見問題

1.如何利用給定材料的比熱容計算熱容？

Q=mCΔT

2.在國際單位制 (SI) 中，比熱容和熱容分別是什麼單位？

熱容和比熱容的 SI 單位分別是焦耳每開爾文 (J/K) 和焦耳每千克開爾文 (J/KgK)。

3.如果我們有 3.5 千克的水。如果水的比熱為 4180 J/Kg⁰C，則水的熱容是多少？

$$\mathrm{c = 4180 \frac{J}{Kg}^\circ C}$$

m = 3.5 kg

$$\mathrm{Q=mC}$$

= 3.5×4180

$$\mathrm{= 14630 \frac{J}{^\circ C}}$$

4.一塊 600 克的銅塊在 30⁰C 到 80⁰C 的溫度範圍內被加熱。如果銅的比熱為 0.385 J/g⁰C，則計算加熱銅所需的能量。

$$\mathrm{c = 0.385 \frac{J}{g}^\circ C}$$

$$\mathrm{ΔT = (80–30)^\circ C= 50^\circ C}$$

我們知道，Q=mCΔT

= 600 × 0.385 × 50

= 11550 J

5.一個重 35 克的金屬球在 $\mathrm{100^\circ C}$ 的溫度下用 2000 J 的能量加熱。確定金屬球的比熱。

m = 35 gm

$$\mathrm{ΔT = 100^\circ C}$$

Q = 2000 J

將這些值代入 Q=mCΔT

$$\mathrm{2000 J = (35 g) c (100^\circ C)}$$

$$\mathrm{2000 J = (3500g^\circ C) c}$$

兩邊都除以 3500 g⁰C

$$\mathrm{2000 J/ 3500^\circ C= c}$$

$$\mathrm{c = 0.571 \frac{J}{g}^\circ C}$$

6.比熱容和熱容有什麼區別？

比熱容和熱容在幾個方面有所不同。主要區別在於比熱容不依賴於材料的質量，而熱容則依賴於材料的質量。

7.130 克鐵的比熱為 $\mathrm{0.45 J/g^\circ C}$。鐵製品在 $\mathrm{100^\circ C\: 到\: 500^\circ C}$ 的溫度範圍內被加熱。確定所需的熱能。

質量 (m) = 130 g

鐵的比熱 (C) = $\mathrm{0.45\frac{J}{g}^\circ C}$

溫度變化 (ΔT) = 500 – 100 = 400⁰C

$$\mathrm{Q=mCΔT}$$

$$\mathrm{Q = 130g × 0.45\frac{J}{g}^\circ C × 400^\circ C}$$

Q = 23400 J

因此，130 克鐵的熱容為 23400 J。