動力學旋轉運動

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介紹

物體可以進行多種運動，例如平動、旋轉、圓周運動、勻速運動等。在旋轉運動中，考慮具有確定大小和形狀的剛體。物體中存在的粒子圍繞固定軸運動呈圓形路徑。因此，要理解旋轉運動的概念，您必須瞭解圓周運動。這裡的術語以角形式包含。

什麼是旋轉運動？

如果在物體的角側（不是在質心）施加力，那麼我們會看到物體開始繞固定軸旋轉。

在這種型別的運動中，剛體圍繞一個固定的點或軸線以圓形路徑旋轉。物體的各個粒子在任何時間點都以相同的速度一起運動。因此，我們可以說，粒子以相同的角速度進行圓周運動的物體的運動稱為旋轉運動。

繞固定軸的旋轉運動

如果物體中存在的全部粒子都以圓形方式沿著一條直線或固定軸線運動，則會發生旋轉運動。物體運動經過的線稱為旋轉軸。因此，我們可以說，在旋轉運動中，物體中的多個粒子圍繞固定的旋轉軸以圓形形狀運動。

旋轉加速度

在旋轉運動中，所有粒子都沿圓形路徑運動。在旋轉運動中，每個點的運動方向都在不斷變化。由於方向的變化，速度隨時間變化，從而產生旋轉或角加速度。與平動運動的線性加速度類似，角加速度或旋轉加速度定義為粒子角速度變化與所用時間變化的比率。它可以用α表示。

$$\mathrm{\alpha=\frac{d\omega}{dt}}$$

其中ω是角速度，t是所用時間。角加速度的 SI 單位為 rad $\mathrm{s^{-2}}$。其量綱公式為$\mathrm{[M^0 L^0 T^{-2}]}$

扭矩

它也被稱為力的旋轉類似物。線上性運動中，由於力的作用，物體開始運動，而在旋轉運動中，由於扭矩的作用，物體開始圍繞一個固定點或軸線旋轉或轉動。它也可以稱為力矩或力的轉動效應。

扭矩的測量是力的大小與距旋轉點的距離的乘積。

$$\mathrm{扭矩 = 力 \times 垂直距離}$$

其單位為牛頓米 (Nm)。它用希臘字母 τ (tau) 表示。它是一個向量量。其量綱公式為$\mathrm{[M L^{2} T^{-2}]}$。扭矩的數學表示式由下式給出

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}=r Fsin \theta}$$

其中 r 是位置向量

F 是力的幅度

θ 是位置 r 和力 F 之間的角度

慣性矩

它被稱為質量的旋轉類似物。線性運動中質量的部分與旋轉運動中慣性矩的部分相同。剛體繞給定旋轉線或旋轉軸的慣性矩，被測量為每個粒子質量與其到旋轉軸距離的平方乘積之和。它用 I 表示。

表示式：考慮一個由 n 個粒子組成的物體，其質量為$\mathrm{m_1,m_2,m_3.........m_n}$，距旋轉線或旋轉軸的距離為$\mathrm{r_1,r_2,r_3,.......r_n}$。然後物體的慣性矩為

$$\mathrm{I=m_1 r_1^{2},m_2 r_2^{2},m_3 r_3^{3},......m_n r_n^{2}}$$

$$\mathrm{I=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n m_ir_i^{2}}$$

慣性矩的 SI 單位為$\mathrm{千克米^{2} (kg\:m^{2})}$。它是一個標量量。其量綱公式為$\mathrm{[ML^{2} T]}$

扭矩(τ) 和慣性矩(I) 之間的關係

讓我們考慮一個由 n 個粒子組成的剛體，其質量為$\mathrm{m_1,m_2,m_3............................m_n}$，繞固定軸旋轉。設$\mathrm{r_1,r_2,r_3...........................r_n}$分別是粒子的位置。

剛體繞軸旋轉

因此作用在剛體上的總扭矩為

$$\mathrm{\tau=\tau_1+\tau_2+\tau_3.........\tau_n}$$

$$\mathrm{\tau=F_1 r_1+F_2 r_2+F_3 r_3............F_n r_n}$$

我們知道 F=ma，所以上述方程可以寫成

$$\mathrm{\tau= m_1 a_1 r_1+m_2 a_2 r_2+m_3 a_3 r_3............m_n a_n r_n}$$

但是$\mathrm{a=r \alpha}$

$$\mathrm{\tau= m_1 (r_1 \alpha)r_1+m_2 (r_2 \alpha)r_2+m_3 (r_3 \alpha)r_3 .................m_n (r_n \alpha)r_n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$$

$$\mathrm{\tau=m_1 r_1^{2} \alpha+m_2 r_2^{2} \alpha+m_3 r_3^{2} \alpha ......................m_n r_n^{2} \alpha\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$$

$$\mathrm{\tau=(m_1 r_1^{2}+m_2 r_2^{2}+m_3 r_3^{2} .....................m_n r_n^{2})\alpha}$$

$$\mathrm{\tau=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n m_ir_i^{2}\alpha}$$

$\mathrm{\tau=I \alpha}$

$$\mathrm{(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n m_ir_i^{2}=I)}$$

結論

在圓周運動中，物體中的所有粒子都隨著時間的推移以不斷變化的速度旋轉，併產生物體中粒子的角加速度。當對物體施加一對大小相等方向相反的平行力時，就會形成力偶的轉動效應。這被稱為力偶所施加的扭矩。

常見問題

Q1. 1000 Nm 的恆定扭矩使慣性矩為$\mathrm{100 \:kgm^{2}}$的輪子繞其旋轉中心的軸線旋轉。求 2 秒內角速度的增量。

答：已知 =1000 Nm，I=200 $\mathrm{kgm^{2}}$

因為$\mathrm{\tau=I \alpha}$

$$\mathrm{\alpha=\frac{\tau}{I}}$$

$$\mathrm{=\frac{1000}{200}=5\:rad/s^{2}}$$

如果 ω 是車輪在 2 秒後的角速度，

$$\mathrm{\omega=\omega_0+\alpha t}$$

$$\mathrm{= 0 + 5 \times 2 = 10 rad/s}$$

Q2. 解釋為什麼單個力不能平衡扭矩？

答：單個力產生平動，而扭矩產生旋轉運動。作用在物體上沿不同作用線的兩個大小相等方向相反的平行力的轉動效應取決於力偶的力矩或力偶所施加的扭矩。因此，單個力不能平衡扭矩。

Q3. 物體的慣性矩取決於哪些因素？

答：

• 物體的質量，

• 質量繞旋轉軸的分佈。

Q4. 旋轉運動在我們的日常生活中有什麼重要意義？

答：旋轉運動在車輛和發動機的運動中起著至關重要的作用。直升機的葉片也具有旋轉運動。

Q5. 在什麼角度下，扭矩最大？

答：當力垂直作用於力臂時。即當$\mathrm{\theta=90^0}$時，扭矩最大。