面積的維度

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引言

面積的維度在測量過程中起著重要作用。測量是科學中最有價值的部分。它對生活也很重要。測量在我們的生活中起著至關重要的作用。它是所有技術發展的基礎。測量精度在科學中更為重要。計量學是將任何物理量與標準量進行比較。測量方法本質上是測量一個量，它總是與一個標準量進行比較。單位定義為具有根據規則或轉換接受的確定數值的物理量。在早期，不同的國家使用不同的單位系統。但在第二次世界大戰結束時，需要一個全球性的單位系統。

量綱分析

• 所有物理量都由一組七個基本量來描述。這七個基本維度是物理世界的維度。

• 量綱用方括號[ ]表示。在力學中，有三個維度：長度的維度[L]，質量的維度[M]和時間的維度[T]。

• 在電化學中，電流的維度是[A]，在熱力學中，溫度的維度是[K]，在光學中，光強的維度是[cd]或[Φ]，物質體積的維度是[mol]。

量綱分析的應用

• 此方法用於將物理量從一個測量單位轉換為另一個測量單位。

• 它用於檢查給定的方程在量綱上是否正確。

• 此方法基於這樣一個原理：數量的數值 (n) 乘以其單位 (u) 是一個常數。

$$\mathrm{n[u]=constant}$$

$$\mathrm{或}$$

$$\mathrm{n_1[u_1]=n_2[u_2]}$$

• 假設一個物理量具有質量的維度'a'，長度的維度'b'和時間的維度'c'。

• 如果一個測量單位的基本單位是M₁、L₁和T₁，另一個單位的基本單位分別是M₂、L₂和T₂，則

$$\mathrm{n_1 [M_1^a L_1^b T_1^c]=n_2 [M_2^a L_2^b T_2^c]}$$

• 由此，可以將物理量的數值從一個測量單位轉換為另一個測量單位。

基本量及其量綱

• 物理量的量綱是基本量量綱的增強步驟，以獲得物理量的量綱。

  $$\mathrm{例如，速度\:=\frac{位移}{時間}=\frac{[L]}{[T]}=[M^0 LT^{-1}]}$$

• 因此，速度的維度具有零質量維度，1長度維度和-1時間維度。

• 量綱項是一個方程，它告訴我們哪些基本維度用於指定物理量以及如何指定。

  $$\mathrm{例如，[M^0 LT^{-2}]是加速度的量綱表示式。}$$

• 描述物理量量綱公式的方程稱為量綱方程。

• 根據量綱，物理量可以分為四類。

量綱變數

• 任何具有量綱和不同值的物理量都稱為量綱變數。

  例如：面積、體積、速度等。

無量綱變數

• 任何無量綱但具有不同值的物理量都稱為無量綱變數。

  例如：對比度、應變、折射率等。

量綱常數

• • 任何相對於維度具有恆定值的物理量都稱為量綱常數。

  例如：普朗克常數和引力常數等。

無量綱常數

• 如果一個常數是無量綱的，則稱為無量綱常數。

  例如：π、e（尤拉數）等

面積的維度

• 面積是衡量二維表面或形狀在表面上展開的多少的度量。

$$\mathrm{矩形面積=長\times寬}$$

$$\mathrm{∴ A=[M^0 L^1 T^0 ]×[M^0 L^1 T^0 ]=[M^0 L^2 T^0 ]}$$

$$\mathrm{A=[L^2 ]}$$

解題示例

1.用量綱法將76釐米汞柱壓力轉換為Nm^-2。

解：

CGS方法中76釐米汞柱壓力

$$\mathrm{P_1= 76 \times 13.6\times 980\: 達因 \:\:cm^{-2}}$$

$$\mathrm{壓力的量綱公式\: [ML^{-1} T^{-2}]}$$

$$\mathrm{P_1 [M_1^a L_1^b T_1^c]=P_2 [M_2^a L_2^b T_2^c]}$$

$$\mathrm{P_2=P_1 [\frac{M_1}{M_2} ]^a [\frac{L_1}{L_2} ]^b [\frac{T_1}{T_2} ]^c}$$

$$\mathrm{M_1=1g; M_2=1kg}$$

$$\mathrm{L_1=1cm\:\:;\: L_2=1m}$$

$$\mathrm{T_1=1s\:\:\:; T_2=1s}$$

因此a=1，b=-1，c=-2

$$\mathrm{P_2=76 \times 13.6\times 980 [\frac{1g}{1kg}]^1 [\frac{1cm}{1m}]^{-1} [\frac{1s}{1s}]^{-2}}$$

$$\mathrm{P_2=76 × 13.6× 980 [\frac{10^{-3} kg}{1kg}]^1 [\frac{10^{-2} m}{1m}]^{-1} [\frac{1s}{1s}]^{-2}}$$

$$\mathrm{P_2=76 × 13.6× 980 ×[10^{-3} ]\times 10^2}$$

$$\mathrm{P_2=1.01\times 10^5\: Nm^{-2}}$$

2.用量綱分析法驗證方程$\mathrm{\frac{1}{2} mv^2=mgh}$在量綱上是否正確

$$\mathrm{\frac{1}{2} mv^2的量綱公式=mgh=[M] [LT^{-1} ]^2=[ML^2 T^{-2}] }$$

$$\mathrm{mgh的量綱公式=[M][LT^{-2} ][L]=[ML^2 T^{-2}]}$$

$$\mathrm{∴[ML^2 T^{-2}]=[ML^2 T^{-2}]}$$

兩邊量綱相等。因此，方程$\mathrm{\frac{1}{2} mv^2=mgh}$在量綱上是正確的。

結論

計量學是將任何物理量與它的標準量進行比較。測量是科學中最有價值的部分。它對生活也很重要。測量在我們的生活中起著至關重要的作用。單位定義為具有根據規則或轉換接受的確定數值的物理量。所有物理量都由一組七個基本量來描述。這七個基本維度是物理世界的維度。它用於檢查給定的方程在量綱上是否正確。面積是衡量二維表面或形狀在表面上展開的多少的度量。

常見問題

1. 定義量綱齊次性原理

根據該原理，等式中每個元素的量綱都相同。例如，在方程v²=u²+2as中，v²、u²和2as的大小相同，都等於[L² T^-2]。

2. 量綱分析的侷限性是什麼？

• 此方法無法確定給定量是向量量還是標量量。

• 無法找到包含三角函式、指數函式和對數函式的方程的相關性。

• 此方法不能用於包含三個以上物理量的方程。

• 透過此方法，可以驗證方程在量綱上是否正確，但無法找到其正確的方程。

3. 什麼是單位換算？

單位換算指的是將物理量的單位從一個單位更改為另一個單位的過程。為了簡化計算，需要單位換算來表達結果。

4. 螺旋測微器和遊標卡尺是什麼？

• 螺旋測微器是一種精確到百分之一毫米（0.01毫米）的測量儀器。該儀器可以測量細金屬絲的直徑、薄金屬板的厚度等。

• 通常，可以使用遊標卡尺計算各種物體的尺寸。計算物體的長度、寬度和高度後，即可計算物體的體積。

5. 解釋單位換算的步驟

• 首先選擇要轉換的單位。所選擇的要轉換的單位稱為起始單位。

• 選擇要轉換成的所需單位。此單位稱為所需單位。

• 找到合適的單位轉換因子。

• 找到因子後，應用數值計算以找到所選單位的相同值。結果，所需單位值和所選單位值必須相等。

6. 什麼是基本單位和匯出單位？

用於測量基本量的單位稱為基本單位，而透過基本單位的適當乘法或除法獲得的用於測量其他物理量的單位也稱為匯出單位。