梯度下降與正規方程的區別

簡介

在理解機器學習中的迴歸問題時，兩種常用的方法是梯度下降和正規方程。雖然這兩種方法都旨在找到給定模型的最佳引數，但它們採用不同的方法來實現這一目標。梯度下降是一種迭代最佳化演算法，透過最小化成本函式逐步調整引數，而正規方程則直接給出閉式解。瞭解這兩種方法之間的區別對於選擇特定問題的最合適方法至關重要。在本文中，我們將深入探討梯度下降和正規方程之間的差異，重點介紹它們的優缺點。

梯度下降

它是一種廣泛應用於機器學習和數學最佳化的迭代最佳化演算法。其主要目標是透過迭代調整模型的引數來最小化成本函式。該演算法在為線性迴歸、邏輯迴歸和神經網路等模型找到最佳引數值方面特別有效。

梯度下降背後的理念是在成本函式景觀中沿著最陡下降的方向採取步驟。“梯度”指的是成本函式相對於每個引數的導數。透過計算斜率，該演算法確定目標函式中最大增長的方向，然後沿相反方向調整引數以最小化成本。

該方法從用隨機或預定義值初始化引數開始。在每次迭代中，該演算法計算成本函式，該函式表示預測值與實際值之間的誤差。然後計算每個引數的成本函式的斜率。

梯度下降是一種強大的最佳化策略，它允許模型從資料中學習並找到實現精確預測的最佳引數。

正規方程

正規方程是線性迴歸中使用的一種閉式解，用於找到最小化平方誤差總和的最佳引數。與梯度下降（一種迭代最佳化演算法）不同，正規方程直接給出解，而無需迭代更新。

正規方程背後的理念是取成本函式相對於引數的導數並將其設定為零。透過這樣做，我們能夠找到滿足此條件並最小化成本函式的引數值。

為了獲得最佳引數值，正規方程涉及矩陣運算，如矩陣轉置和求逆。它透過將設計矩陣的轉置與設計矩陣的乘積的逆與設計矩陣的轉置和目標值的乘積相乘來直接計算引數。

正規方程對於具有單個自變數的簡單線性迴歸問題特別有用，因為它提供了精確的解。但是，它也可以擴充套件以處理多個自變數。

雖然正規方程提供了高效且精確的解，但對於大型資料集而言，它在計算上可能代價高昂，因為它需要對矩陣進行求逆，這具有 O(n^3) 的時間複雜度。此外，它特定於線性迴歸，不能直接應用於其他模型。