多項式的次數

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簡介

多項式的次數是指各個單項式次數中最大的次數。多項式是一種代數表示式，其中所有變數的指數必須是正整數。每個多項式中變數的指數必須是非負整數。可以將多項式視為數學中的方言。它們被用於表示幾乎所有數學領域中的數字，並在特定數學領域中使用。

您可以執行算術運算，例如多項式加法、多項式減法、多項式乘法和正整數的指數運算，但不能執行變數除法。

在本教程中，我們將討論多項式和多項式的次數。

多項式

多項式是一種代數表示式，其中所有變數的指數必須是正整數。每個多項式中變數的指數必須是非負整數。多項式由常數和變數組成，您可以執行算術運算，例如多項式加法、多項式減法、多項式乘法和正整數的指數運算，但不能執行變數除法。

例如，6x²+ 5x +5 是一個二次多項式。

多項式的項

多項式的項通常是方程式中由“+”或“-”號分隔的部分。“項”是指一個數字與一個或多個變數的乘積，其中變數的冪為正整數。也就是說，沒有根號或變數除法。

求解二次或三次方程的第一步是找到使方程式成立的變數值（或值）。二次或三次方程式所需的該值（或值）稱為其根、解或零點。

多項式的次數

單項式的次數是其變數指數的和。多項式的次數是具有非零係數的單項式（單個項）的最高次數。項的次數是非負整數。

例如，P(x)=6x³+ 2x²+1

此三次方程的次數為 3。

常數

在代數表示式和方程式中出現的固定值稱為常數。常數的值是固定的，不會隨時間變化。

x+y = 8 是一個代數表示式，而 8 是一個不能改變的常數。

變數

隨時間變化或變化的量稱為變數。與常數不同，它不會保持不變。例如，人的身高和體重是變數，因為它們並不總是恆定的。

代數公式 x+y = 8 中的變數 x 和 y 是可變的。

根據次數的不同，多項式可分為

多項式的次數定義為首項的冪或變數的最高冪。這是透過按冪降序排列多項式的項來實現的。根據多項式的次數，它們主要分為四種類型。

• 0 次或常數多項式 - 次數為零的多項式稱為零多項式。

• 一次多項式 - 次數為一的多項式稱為一次多項式。在一次多項式中，變數的最高指數為 1。

• 二次多項式 - 二次多項式是次數為二的多項式。

• 三次多項式 - 三次多項式是次數為三的多項式。

2 次和 3 次多項式的係數和零點之間的關係

零點和係數之間存在明確的數學關係，多項式中的零點個數等於多項式的次數。

對於二次方程：設方程為 ax² + bx + c = 0，其根為 α 和 β

則，根的和 = $\mathrm{α +β=\frac{-b}{a}}$

且，根的積 = $\mathrm{α ×β=\frac{c}{a}}$

對於三次方程：設方程為 ax³+bx² + cx + d = 0，其根為 α、β 和 Υ

則，根的和 = $\mathrm{α +β+γ=\frac{-b}{a}}$

且，根的積 = $\mathrm{α ×β×γ=\frac{-d}{a}}$

以及 $\mathrm{αβ+βγ+γα=\frac{c}{a}}$

例題

1) 求一次多項式 8x – 8 的零點。

答：給定的一次多項式為 8x – 8，要找到它的零點，首先將其等於零

$$\mathrm{8x – 8=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow 8x=8}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x=1}$$

因此，給定多項式的零點為 1。

2) 因式分解給定多項式 x²+3x+ 2

答：給定二次多項式 x²+3 x+2

$$\mathrm{x^2+3 x+2 = x^2+2 x+x+2}$$

$$\mathrm{=x ( x+2 )+( x+2 )}$$

$$\mathrm{=( x+2 ) ( x+1 )}$$

3) 求二次多項式 x²+4x+4 的零點

答：給定二次多項式 x²+4x+4，要找到它的零點，首先將其等於 0。

$$\mathrm{x^2+4x+4= (x+2)^2=0 }$$

$$\mathrm{\Rightarrow x=-2 }$$

因此，給定多項式的零點為 -2

4) 簡化給定多項式 ( x²+2 x+1 )×( x+1 )

答：給定多項式為 (x²+2x+1)×(x+1)

$$\mathrm{\Rightarrow (x^2.x+2x.x+1.x)+(x^2+2x+1)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow (x^3+2x^2+x)+(x^2+2x+1)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x^3+3x^2+3x+1}$$

5) 使用恆等式簡化 (x+4)²=2。

答：給定方程為 (x+4)²=16

$$\mathrm{x^2+4^2+8x=16}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x^2+8x=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(x+8)=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x=0\: and\: x=-8}$$

6) 使用恆等式簡化 (x-2)²=1。

答：給定方程為 (x-2)²=1

$$\mathrm{x^2+2^2-4x=1}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x^2-4x+3=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x^2-3x-x+3=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(x-3)-1(x-3)=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow (x-3)(x-1)=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x=1 \: and\: x=3}$$

結論

多項式是一種代數表示式，其中所有變數的指數必須是正整數。多項式可以有任意（有限）個項。一般表示式將給出為

$$\mathrm{f(x)=a_n x^n +a_{ n - 1} x^{n-1}+ a_{n-2} x ^{n -2} +................+ a_1 x^{1} + a_0}$$

其中 a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,........ 是多項式的係數，x 是一個變數，其冪必須僅為正整數。

常見問題

1. 什麼是多項式？

多項式是一種代數表示式，其中所有變數的指數必須是正整數。多項式可以有任意（有限）個項。

2. 多項式的一般表示式是什麼？

一般表示式將給出為

$$\mathrm{f(x)=a_n x^n +a_{ n - 1} x^{n-1}+ a_{n-2} x ^{n -2} +................+ a_1 x^{1} + a_0}$$

其中 a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,........ 是係數，x 是一個變數，其冪必須僅為正整數。

3. 什麼是給定多項式的次數？

次數是具有最高次數的單項式（單個項）的指數之和。項的次數是非負整數，因為它將是所包含變數的指數之和。

4. 二次方程的一般方程是什麼？

二次方程的一般方程為 ax₂+ bx + c = 0。

5. 什麼是多項式的零點？

給定多項式的零點是多項式為零的點。多項式的零點是指使多項式變為零的點。將該值代入多項式，整個多項式的值將等於零。