C++ 幾何級數無限項求和程式

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什麼是幾何級數 (GP)？

幾何級數 (GP) 是一串數字，其中每一項都是透過將前一項乘以一個常數生成的。這個常數在 GP 中被稱為公比。在本文中，我們將討論如何使用 C++ 中的不同方法來計算 GP 中無限項的和。

注意：需要記住的重要條件是，只有當公比 (r) 的絕對值小於 1 時，GP 的正有效無限和才可能存在，即 ∣r∣ < 1。

計算 GP 中無限項和的方法

以下是計算 GP 中無限項和的兩種不同方法（方法）

• 迭代法
• 直接公式法

暴力法

我們使用迭代法來計算 GP 中無限項的和。我們初始化一個變數來儲存項的和並獲取迭代次數。我們設定第一項 a，並將當前項新增到總和中。透過將其乘以公比來更新當前項。此過程將持續到一定次數的迭代並返回 GP 的無限項之和。

步驟

• 檢查 |r| >= 1。如果為真，則返回 NAN，因為級數不收斂。
• 初始化 sum 和 currentTerm 為第一項 a。
• 使用迴圈迭代計算項的和，在預定義的最大迭代次數後停止以模擬無限項。

實現

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double sumOfInfiniteTermsGP(double a, double r) {
    if (fabs(r) >= 1) {
        return NAN;
    }

    double sum = 0;
    double currentTerm = a;
    // We will take the maximum number of iterations
    int maxIterations = 10000;

    // Iteratively calculate the sum of terms
    while (maxIterations > 0) {
        sum += currentTerm;
        currentTerm *= r;
        maxIterations--;
    }

    return sum;
}

int main() {
    double ans = sumOfInfiniteTermsGP(12, 0.2);

    if (!isnan(ans)) {
        cout << "The sum of infinite terms in the GP is: " << ans << endl;
    } else {
        cout << "Sum does not converge as |r| >= 1" << endl;
    }

    return 0;
}

輸出

The sum of infinite terms in the GP is: 15

複雜度分析

• 時間複雜度：O(n)，其中 n 是迭代次數。
• 空間複雜度：O(1)，因為沒有使用額外的空間。

直接公式法

我們可以使用直接公式來找到幾何級數的無限項之和。求 GP 無限項和的公式為

GP 的無限項和 = a / (1 - r)，如果 ∣r∣ < 1

步驟

• 定義一個函式，該函式採用兩個引數：第一項和公比。
• 檢查 r 的絕對值是否大於或等於 1。如果為真，則返回 NAN，因為級數不收斂。
• 使用公式 Sum = a / (1 - r) 計算 GP 的無限項之和。
• 最後，返回總和。

實現

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double sumOfInfiniteTermsGP(double a, double r) {
    if (fabs(r) >= 1) {
        return NAN;
    }
    return a / (1 - r);
}

int main() {
    double ans = sumOfInfiniteTermsGP(12, 0.2);

    if (!isnan(ans)) {
        cout << "The sum of infinite terms in the GP is: " << ans << endl;
    } else {
        cout << "Sum does not converge as |r| >= 1" << endl;
    }

    return 0;
}

輸出

The sum of infinite terms in the GP is: 15

複雜度分析

• 時間複雜度：O(1)，因為計算是在常數時間內完成的。
• 空間複雜度：O(1)，因為沒有使用額外的空間。