將 SSOP 轉換為 SPOS 形式

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布林函式可以用兩種形式表示，即：

• 積之和 (SOP) 形式

• 和之積 (POS) 形式

SOP（積之和）形式是指布林函式表示為積項之和的形式，而在POS（和之積）形式中，布林函式表示為函式的和項之積的形式。但是，在 SOP 和 POS 形式中，函式的每個項可能不包含所有變數。

例如，考慮一個包含三個變數的布林函式：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=A\overline{B}+\overline{B}C}$$

這是布林函式 (f) 的積之和 (SOP) 形式。可以注意到，它在積項中沒有包含所有變數，即第一個積項中缺少變數 C，第二個積項中缺少變數 A。

類似地，考慮一個 POS 形式的 3 個變數布林函式，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}\rgroup+\lgroup \overline{B}+C\rgroup}$$

在這種情況下，第一個項中缺少變數 C，第二個項中缺少變數 A。

有時，我們需要將布林函式表示為這樣一種形式，其中函式的每個項都應包含函式的所有變數。因此，將布林函式表示為每個項都包含函式所有變數的形式被稱為標準形式或展開形式或規範形式。

因此，布林函式可以用兩種標準形式表示：

• 標準積之和 (SSOP) 形式

• 標準和之積 (SPOS) 形式

標準積之和 (SSOP) 形式

標準積之和 (SSOP) 形式是指將布林函式表示為最小項之和的形式。最小項是布林函式的積項，其中包含函式的所有變數，這些變數以補或不補的形式出現。

因此，布林函式的 SSOP 形式也稱為展開積之和形式，因為它的每一項都包含函式的所有變數。

例如，考慮一個 SOP 形式的布林函式，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=A\overline{B}+\overline{B}C}$$

那麼，該函式的 SSOP 形式將是：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=A\overline{B}\lgroup C+\overline{C}\rgroup+B\overline{C}\lgroup A+\overline{A}\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\overline{A}B\overline{C}+A\overline{B}\:\overline{C}+A\overline{B}C+AB\overline{C}}$$

這是給定布林函式的標準積之和 (SSOP) 形式。SSOP 形式的布林函式也可以表示為：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=m_2+m_4+m_5+m_6=\sum m \lgroup 2,4,5,6\rgroup}$$

標準和之積 (SPOS) 形式

標準和之積 (SPOS) 形式是指將布林函式表示為最大項之積的形式。其中，最大項是布林函式的和項，其中包含函式的所有變數，這些變數以補或不補的形式出現。

因此，布林函式的 SPOS 形式也稱為展開和之積形式，因為函式的每一項都包含所有變數。

例如，考慮一個 POS 形式的布林函式，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup=\lgroup A+\overline{B}\rgroup\lgroup B+\overline{C}\rgroup}$$

那麼，該函式的 SPOS 形式將是：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}+C\overline{C}\rgroup\lgroup A\overline{A}+B+\overline{C}\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+B+\overline{C}\rgroup\lgroup A+\overline{B}+C\rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}\rgroup\lgroup\overline{A}+B+\overline{C}\rgroup}$$

這是給定布林函式的標準和之積 (SPOS) 形式。布林函式的 SPOS 形式也可以表示為：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=M_1.M_2.M_3.M_5=\prod M\lgroup 1,2,3,5\rgroup}$$

現在，讓我們討論如何將 SSOP（標準積之和）形式轉換為 SPOS（標準和之積）形式。

將 SSOP 轉換為 SPOS 形式

我們可以將布林函式的 SSOP（標準積之和）形式轉換為 SPOS（標準和之積）形式。要將布林函式從 SSOP 形式轉換為 SPOS 形式，我們必須遵循以下兩個步驟：

• 交換運算子 Σ 和 Π。

• 列出給定 SSOP 形式中缺少的項。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 0,1,2,5,7\rgroup =m_0+m_1+m_2+m_5+m_7}$$

在這個函式中，最小項 3、4 和 6 缺失。因此，它們將以最大項的形式出現在 SPOS 形式中。

$$\mathrm{\therefore \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 3,4,6\rgroup=M_3.M_4.M_6}$$

透過這種方式，我們可以將布林函式從 SSOP 形式轉換為 SPOS 形式。

我們還可以使用補和德摩根定理將布林函式從 SSOP 轉換為 SPOS 形式，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 0,1,2,5,7\rgroup =m_0+m_1+m _2+m_5+m_7}$$

該函式的補為：

$$\mathrm{\overline{\mathit{f}(A,B,C)} =\sum m\lgroup 3,4,6\rgroup=m_3+m_4+m_6}$$

即，表示為最小項之和的布林函式的補等於給定布林函式中缺少的最小項之和。

現在，如果我們應用德摩根定理，$\mathrm{\lgroup \overline{A+B}=\overline{A}.\overline{B} \rgroup}$ 我們將得到以下形式的函式：

$$\mathrm{\mathit{f}(A,B,C)=\overline{m_3+m_4+m_6}=\overline{m_3}.\overline{m_4}.\overline{m_6}= M_3.M_4.M_6}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 3,4,6\rgroup }$$

這是給定布林函式的 SPOS 形式。

結論

這就是關於將 SSOP（標準積之和）形式轉換為 SPOS（標準和之積）形式的所有內容。