平均值與計算

---

簡介

平均數是一個代表一組完整數值的單個值。

例如：班級平均分數為 80%，國家平均身高，平均壽命，特定區域的平均溫度等。

平均數主要分為兩類：數學平均數或平均值以及位置平均數。要找到位置平均數，我們可以使用中位數和眾數。

平均數

平均數是給定數值集中間的數值。此外，平均而言，分子是所有給定值的總和，分母是給定值的總數。有限連續數的平均數始終是其中間值。求平均數的公式 -

$$\mathrm{平均值 =\frac{所有值的總和}{值的總數}}$$

要找到數學平均數或平均值，有三種方法，分別是算術平均數、幾何平均數和調和平均數。

算術平均數

在其他方法中，算術平均數是用於求平均數最常見的方法。算術平均數分為兩種型別，分別是簡單算術平均數和加權算術平均數。

簡單算術平均數

在統計學中，資料會被收集、記錄、整理和分析。每個觀察值在算術平均數中都使用直接法或捷徑法。觀察值分為三種類型，分別是單個系列、離散系列和連續系列。下面提到了每種型別的公式 -

單個系列

• 直接法 - $\mathrm{\bar{x}=\frac{X_1+ X_2+X_3+...+X_n }{N}=\frac{\sum X}{N}}$

  其中 X¹+ X²+X³+...+Xⁿ = 值的總和

  N = 值的總數。

• 捷徑法 $\mathrm{\bar{x}=A + \frac{\sum d}{N}}$

  其中 A = 假設值

  d = (x - A)

離散系列

• 直接法 - $\mathrm{ \bar{x}=\frac{\sum fX}{N}}$

  其中 f = 頻數

• 捷徑法 - $\mathrm{ \bar{x}=A + \frac{\sum fd}{N}}$

連續系列

• 直接法 - $\mathrm{\bar{x}=\frac{\sum fm}{N}}$

  其中 m = 中點

• 捷徑法 - $\mathrm{ \bar{x}=A + \frac{\sum fd}{N}}$

  其中 d = (m - A)

加權算術平均數

在簡單算術中，所有值都賦予相同的權重，而在加權算術中，值具有不同的權重。公式如下所示

$$\mathrm{\bar{x_w}=\frac{W_1 X_1+ W_2 X_2+.....+W_n X_n }{W_1 +W_2+....+W_n} \: (或)\: \bar{x_w} = \frac{\sum WX}{ΣW}}$$

其中 X = 變數值

W = 每個變數的權重

解題示例

1)在一場考試中，每門科目的權重不同。在 3 名學生中，只有得分最高的一人才會獲得獎學金。現在，根據給定的資料，找出誰將獲得獎學金。每門科目的權重分別為數學 - 5、物理 - 3、化學 - 2

科目	學生 A	學生 B	學生 C
數學	80	89	79
物理	96	92	95
化學	89	90	87

根據給定資料計算 $\mathrm{\underline{X_w}}$。

計算學生 A 的加權算術平均數，

使用公式，

$$\mathrm{\bar{x_{wA}}=\frac{W_1 X_1+ W_2 X_2+.....+W_n X_n}{W_1 +W_2+....+W_n }}$$

$$\mathrm{\bar{x_{wA}}=\frac{(5×80) + (3×96)+(2×89)}{5 + 3+ 2}}$$

$$\mathrm{= \frac{866}{10} = 86.6}$$

計算學生 B 的加權算術平均數，

使用公式，

$$\mathrm{\bar{x_{wB}}=\frac{W_1 X_1+ W_2 X_2+.....+W_n X_n}{W_1 +W_2+....+W_n }}$$

$$\mathrm{\bar{x_{wB}}=\frac{(5×89) + (3×92)+(2×90) }{5 + 3+ 2}}$$

$$\mathrm{=\frac{901}{10}=90.1}$$

計算學生 C 的加權算術平均數，

使用公式，

$$\mathrm{\bar{x_{wC}}=\frac{W_1 X_1+ W_2 X_2+.....+W_n X_n}{W_1 +W_2+....+W_n }}$$

$$\mathrm{\bar{x_{wC}}=\frac{(5×79) + (3×95)+(2×87) }{5 + 3+ 2 }}$$

$$\mathrm{=\frac{854}{10}=85.4}$$

根據加權算術平均數，學生 B 將獲得獎學金。

2)使用假設平均數法求以下資料的算術平均數。

類別區間	0 - 5	5 - 10	10 - 15	15 - 20
頻數	14	12	16	17

答案

類別區間	fi	中點 xi	di= xi-A A = 10	Σfi di
0 - 6	14	3	- 7	- 98
6 - 12	12	9	- 1	- 12
12 - 18	16	15	5	80
18 - 24	17	21	11	187
	Σfi= 59			Σfi di= 157

公式為 $\mathrm{\bar{x}=A+ \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}}$

$\mathrm{\bar{x}=10+ \frac{157}{59}}$

$\mathrm{\bar{x}=10+ 2.66}$

$\mathrm{12.66}$

3)使用直接法求給定資料的算術平均數。

類別區間	2 - 11	12 - 20	21 - 29	30 - 38
頻數	9	6	8	7

答案

每組類別區間之間的差值為 1。要使區間連續，請將上限減去 0.5，並將下限加上 0.5

C. I	改進後的 C. I	f	m	fm
2 - 11	2.5 - 11.5	9	7	63
12 - 20	11.5 - 20.5	6	16	96
21 - 29	20.5 - 29.5	8	25	200
30 - 38	29.5 - 38.5	7	34	238
		Σf = 30		Σfm =597

公式為 $\mathrm{\bar{x}=\frac{\sum fm}{N}}$

$$\mathrm{\bar{x}=\frac{597}{30}}$$

$\mathrm{\bar{x}=19.9}$

4)板球比賽中 25 個得分的平均數記錄為 52。後來發現，兩個 6 分被錯誤地記錄為 4，5 分被錯誤地記錄為 2。求正確的平均數。

答案

給定資料，N = 25

$$\mathrm{\bar{x}=52}$$

我們知道，$\mathrm{\bar{x}=\frac{\sum x}{N}}$

$$\mathrm{\sum x = \bar{x}. N}$$

Σx = 25 × 52 = 1300

其中 Σx 是錯誤的平均數

正確的 Σx = 錯誤的 Σx - 錯誤項 + 正確項

= 1300 - 4 - 2 + 6 + 5

= 1305

正確的 $\mathrm{\bar{x}=\frac{1305}{25}= 52.2}$

結論

資料是一組包含科學測量、調查和其他資料收集的數字。平均數是一個代表數值或術語集合的值。當值在算術平均數中較大時，算術平均數是經常用於求平均數的方法。為了簡化，我們使用假設平均數法或捷徑法。

常見問題

1. 離散函式和連續函式有什麼區別？

在離散函式中，值是不相關的且易於測量的。

例如：想踢足球的學生人數 = 23

在連續函式中，值是相關的並且資料在一個範圍內。

例如：在一個班級中，學生在考試中獲得的分數在 70-85 的範圍內

2. 簡單算術平均數和加權算術平均數何時會產生相同的結果？

當所有給定的權重相等時，簡單算術平均數等於加權算術平均數。我們得到 $\mathrm{\bar{x_w}=\bar{x}}$ 其中每個

$$\mathrm{w_1 = w_2= w_n.}$$

3. 對較高值應用較低的權重會發生什麼？

當對較高值賦予較低的權重時，簡單算術平均數的值大於加權算術平均數。

$$\mathrm{即，\bar{x} > \bar{x_w}}$$

4. 如何求連續數列的平均數？

連續數是遵循任何數列的連續數，例如 20 以內的奇數列表、前 20 個自然數等。要找到平均數，中心或中間數就是平均數。

5. 幾何平均數和調和平均數可以在哪些地方應用？

幾何平均數用於代替年增長率，調和平均數用於求速度的平均值。