兩個n位二進位制數的加法

---

在數位電子學和數字系統（如數字計算機、計算器等）中，二進位制數及其算術運算起著至關重要的作用。與十進位制數系統一樣，我們也可以對二進位制數執行所有四種基本算術運算，即二進位制數的加法、減法、乘法和除法。閱讀本文，瞭解如何新增兩個n位二進位制數。

什麼是二進位制加法？

二進位制加法是在二進位制數上執行的基本算術運算，其中將任意位數的兩個二進位制數相加以獲得和。

眾所周知，二進位制數系統基數為二，僅包含兩個符號或數字，即0和1。因此，兩個二進位制數的加法類似於十進位制數的加法，只是系統的基數為2。在討論二進位制加法過程之前，讓我們瞭解一下二進位制加法的規則。

二進位制加法的規則

我們必須遵循布林代數的某些規則才能執行兩個二進位制數的二進位制加法。執行二進位制加法需要遵循四個規則。這些規則如下所示：

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0 (進位1)

因此，當新增前三組位時，不會產生進位。但是，當新增兩個1位時，和位為0，併產生進位位1。

現在，讓我們透過示例來了解兩個二進位制數的加法。

示例

將兩個3位二進位制數111和101相加。

解答

給定的二進位制數為111和101。我們可以如下新增這兩個3位二進位制數：

	第3列	第2列	第1列
來自先前加法的進位	1	1	無進位
第一個二進位制數	1	1	1
第二個二進位制數	1	0	1
和位	1	0	0
進位位	1	1	1

因此，此二進位制加法的結果是：

111 + 101 = 1100

此二進位制加法的系統表示如圖1所示。

解釋

二進位制數111和101的二進位制加法按照以下步驟執行：

• 步驟1 - 首先，我們考慮第1列，並新增第1列的位，即(1+1)，根據二進位制加法的規則，它給出和位0和進位位1。和位保留在第1列中，進位位1被轉發到第2列。

• 步驟2 - 在第2列中，我們新增1+(1+0)。它給出和位0（保留在第2列中）和進位位1，該位被轉發到下一列。

• 步驟3 - 在第3列中，我們新增1+(1+1)。它給出和位1和進位位1。

最後，記錄和結果，即1100。

瞭解了特定位數的二進位制加法後，我們可以將其擴充套件到任意位數。

兩個n位二進位制數的加法

上述示例中遵循的二進位制加法過程可以推廣到任何兩個n位二進位制數。

我們可以按照以下步驟執行兩個n位二進位制數的加法：

假設有兩個n位二進位制數：

$$A=A_{n}\cdot \cdot \cdot A_{3}A_{2}A_{1}$$

$$B=B_{n}\cdot \cdot \cdot B_{3}B_{2}B_{1}$$

現在，讓我們新增這兩個二進位制數。

	第n列	第3列	第2列	第1列
來自先前加法的進位	C(n-1)	C2	C1	無進位
第一個二進位制數	An	A3	A2	A1
第二個二進位制數	Bn	B3	B2	B1
和位	Sn = An + Bn + C(n-1)	S3 = A3 + B3 + C2	S2 = A2 + B2 + C1	S1 = A1 + B1
進位位	Cn	C3	C2	C1

這兩個n位二進位制數的二進位制加法的結果將是：

$$S=C_{n}S_{n}\cdot \cdot \cdot S_{3}S_{2}S_{1}$$

此加法也可以用圖2所示的標準佈局表示。

解釋 - 兩個n位二進位制數的二進位制加法按照以下步驟執行：

• 步驟1 - 首先，考慮第1列，並新增第1列的位，即(A₁ + B₁)。它給出和位S₁和進位位C₁作為結果。

• 步驟2 - 將和位S₁保留在第1列中，並將進位位C₁轉發到第2列。

• 步驟3 - 現在，新增第2列的位，即(C₁ + A₂ + B₂)。它給出和位S₂和進位位C2。將和位S₂保留在第2列中，並將進位位移動到第3列。

• 步驟4 - 以相同的方式對每一列執行加法。

• 步驟5 - 在第n列中，我們新增(C_(n-1) + A_n + B_n)。它給出和位S_n和進位位C_n。

最後，將所有結果位組合在一起，以獲得給定n位二進位制數的和，如下所示：

$$S=C_{\left ( n-1 \right )}S_{n}\cdot \cdot \cdot S_{3}S_{2}S_{1}$$

這就是兩個n位二進位制數加法的最終結果。

這就是關於兩個n位二進位制數加法的全部內容。為了精通二進位制數的加法，請嘗試解決以下教程問題。

問1 - 將兩個5位二進位制數11011和10110相加。

問2 - 將這兩個二進位制數相加：1011 + 1101。

問3 - 將這兩個二進位制數相加：1110011和1011011。

問4 - 執行加法：10111 + 10011。

問5 - 將這兩個二進位制數相加：1111 + 1001。