什麼是多項式碼？

多項式碼是一種線性碼，其有效碼字集由能被較短的固定多項式（稱為生成多項式）整除的多項式組成。

它們用於資料傳輸和儲存過程中的錯誤檢測和糾正。

多項式碼的型別

多項式碼的型別包括：

• 迴圈冗餘校驗碼 (CRC)
• 博斯-喬德赫裡-霍克文海姆碼 (BCH碼)
• 裡德-所羅門碼 (Reed–Solomon碼)

用多項式表示位元串

碼字（本質上是位元串）由係數為 0 或 1 的多項式表示。一個 k 位字由從 x⁰ 到 x^k-1 的多項式表示。此多項式的階數是最高次項的冪，即 (k-1)。

例如，8 位字 11001101 由以下 7 階多項式表示：

1x⁷ + 1x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ + 1x³ + 1x² + 0x¹ + 1x⁰ = x⁷ + x⁶ + x³ + x² + 1

模 2 運算

多項式碼運算採用模 2 算術。

• **加法和減法：**根據有限域理論的規則，在模 2 算術中，加法和減法沒有進位或借位。因此，這兩個運算都與異或 (XOR) 運算相同。

例如，如果存在兩個字 11001011 和 10101111，則加法和減法都將得到結果 01100100。

• **乘法：**

  模 2 乘法與與運算相同。

生成多項式

使用多項式碼對訊息進行編碼時，會使用一個稱為生成多項式 G(x) 的固定多項式。G(x) 的長度應小於它編碼的訊息的長度。

在 CRC 編碼中，G(x) 的最高有效位 (MSB) 和最低有效位 (LSB) 位置都應為 1。在編碼過程中，CRC 位附加到訊息上，以便生成的幀可被 G(x) 整除。

George John

更新於：2019年7月30日

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