MATLAB中的梯形數值積分（不使用trapz函式）

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梯形數值積分簡介

梯形數值積分是一種用於求解定積分近似值的方法。它也被稱為梯形法則。在梯形數值積分方法中，我們使用梯形來計算曲線下的面積。

在梯形法則中，我們要積分的總區間被分成較小的子區間。然後，使用梯形近似每個子區間下的曲線面積。之後，透過子梯形面積之和來估計曲線下的總面積。這將是定積分的近似值。

梯形法則公式

以下表達式是梯形數值積分的公式，它給出了定積分的近似值。

$$\mathrm{\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}[f(a)+2\lbrace{^{n-1}_{i=1}} f(x_{i})+f(b)\rbrace]}$$

其中，

$$\mathrm{x_{i}=a+ih}$$

$$\mathrm{h=\frac{(b-a)}{n}}$$

這裡，“h”是步長或每個子區間的寬度，“n”是子區間的數量，“a”是積分的下限，“b”是積分的上限。

MATLAB中不使用'trapz'函式的梯形數值積分

在MATLAB中，我們可以使用內建函式“trapz”來數值逼近定積分。但是，在本文中，我們將學習不使用“trapz”函式實現梯形數值積分的方法。

為此，讓我們在MATLAB中考慮一些示例程式。

問題（1）：使用15個子區間估計曲線$\mathrm{^{2}_{0}(\frac{1}{1+x^{3}})dx}$下的面積。

示例

% MATLAB program demonstrate the trapezoidal 
numerical integration without using trapz function.
% MATLAB program to find area under the curve ∫_0^2 1/(1+x^3) dx 
using 15 subintervals.
% Create a dynamic variable x by using syms function

syms x
% Specify the lower and upper limits of the integration
a = 0;
b = 2;
% Specify the number of subintervals
n = 15;
% Define the function to integrate
fun1 = 1 / (1+x^3);
% Create a function of string containing in fun1
fun = inline(fun1);
% h is the step size
h = (b - a) / n;
% Create a variable S1 that stores the sum of first and 
last subintervals
S1 = fun(a) + fun(b);
% Create a variable S that stores the sum of all the 
subintervals from 1 to (n-1)
S = 0;
for i = 1:1:n-1
   xi = a + (i * h);
   S = S + fun(xi);
end
% Apply the formula to perform the numerical integration using 
Trapezoidal Rule
I = (h / 2) * (S1 + 2 * S);
% Display the result of the integration
disp('Area under the curve 1/(1+x^3) = ');
disp(I);

輸出

Area under the curve 1/(1+x^3) = 
    1.0898

解釋

在這個MATLAB程式中，函式“fun1”指定了我們要積分的函式。變數“a”和“b”分別定義了積分的下限和上限。函式“inline”生成建立了一個包含在函式“fun1”中的字串的函式“fun”。然後，呼叫表示式“h”來計算步長。之後，我們計算第一個和最後一個子區間的和，並將總和儲存在“S1”中。然後，我們指定一個變數“S”來儲存從1到（n-1）的所有子區間的和。之後，我們使用梯形法則公式執行數值積分。最後，我們呼叫“disp”函式來顯示結果。

問題（2）：使用10個子區間估計曲線 $\mathrm{^{\pi}_{0}(sin(x))dx}$下的面積。

示例

% MATLAB program demonstrate the trapezoidal 
numerical integration without using trapz function.
% MATLAB program to find area under the curve ∫_0^π sin(x) dx 
using 10 subintervals.
% Create a dynamic variable x by using syms function

syms x
% Specify the lower and upper limits of the integration
a = 0;
b = pi;
% Specify the number of subintervals
n = 10;
% Define the function to integrate
fun1 = sin(x);
% Create a function of string containing in fun1
fun = inline(fun1);
% h is the step size
h = (b - a) / n;
% Create a variable S1 that stores the sum of first and last 
subintervals
S1 = fun(a) + fun(b);
% Create a variable S that stores the sum of all the 
subintervals from 1 to (n-1)
S = 0;
for i = 1:1:n-1
   xi = a + (i * h);
   S = S + fun(xi);
end
% Apply the formula to perform the numerical integration using 
Trapezoidal Rule
I = (h / 2) * (S1 + 2 * S);
% Display the result of the integration
disp('Area under the curve sin (x) = ');
disp(I);

輸出

Area under the curve sin (x) = 
    1.9835

結論

這就是關於在MATLAB中不使用“trapz”函式執行梯形數值積分的所有內容。上述MATLAB示例程式說明了不使用“trapz”函式執行梯形數值積分的簡單實現。