2的平方根

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介紹

2的平方根用符號√表示，寫成$\mathrm{\sqrt{2}\:=\:1.414\:......}$。為了將其與具有相同屬性的負數區分開來，從技術上講應將其稱為2的主平方根。

根據勾股定理，在邊長為一個單位的正方形中，對角線的長度在幾何上等於2的平方根。這可能是發現的第一個無理數。由於它的小數位數無限且無法表示為分數，因此根2是一個無理數。因此，無法計算根2的精確值。

什麼是平方根？

在數學中，平方根是一個因子，當它自身相乘時，等於原始整數。例如，16的平方根是4和-4。早在公元前第二個千年，巴比倫人就掌握了計算平方根的有效方法。

2的平方根的計算

我們可以使用長除法計算2的平方根，如下所示

什麼是2的平方根？

簡單來說，平方根就是平方運算的逆運算。2的平方根的符號是$\mathrm{\sqrt{2}}$。這個數自身相乘，結果為2。古希臘數學家發現了一個在古代永遠無法表示為$\mathrm{\frac{p}{q}}$的數

其中𝑝 & 𝑞是整數，且𝑞不等於0。這表明$\mathrm{\sqrt{2}}$是無理數。在幾何學中，$\mathrm{\sqrt{2}}$是一個非常有用的常數。假設您想確定邊長為1的正方形的對角線的長度。

用序列極限法求2的平方根

為了用序列極限法求2的平方根，我們將構造一個收斂到$\mathrm{\sqrt{2}}$的實數序列$\mathrm{(x_{n})}$。

令$\mathrm{x_{1}>0}$為任意數，並定義$\mathrm{x_{n\:+\:1}\:=\:\frac{1}{2}(x_{n}\:+\:\frac{2}{x_{n}})\:,\:n\:\varepsilon\:N}$

我們現在證明$\mathrm{{x_{n}}^{2}\:\geq\:a\:,\:n\:\geq\:2}$ 因為$\mathrm{x_{n}}$滿足二次方程$\mathrm{{x_{n}}^{2}\:-\:2x_{n\:+\:1}x_{n}\:+\:2\:=\:0}$ 這個方程有一個實根。因此$\mathrm{{4x_{n\:+\:1}}^{2}\:-\:4a\:\geq\:0}$

這意味著$\mathrm{{x_{n}}^{2}\:\geq\:a.}$

現在要看出$\mathrm{(x_{n})}$是遞減的，我們注意到對於$\mathrm{n\:\geq\:2}$，我們有

$$\mathrm{x_{n}\:-\:x_{n\:+\:1}\:=\:x_{n}\:-\:\frac{1}{2}(x_{n}\:+\:\frac{2}{x_{n}})\:=\:\frac{1}{2}\frac{({x_{n}}^{2}\:-\:2)}{x_{n}}\:\geq\:0}$$

因此，

$$\mathrm{x_{n\:+\:1}\:\leq\:x_{n}\:,\:n\:\geq\:2}$$

單調收斂定理表明(𝑥𝑛)的極限存在，且極限必須滿足關係$\mathrm{x\:=\:\frac{1}{2}(x\:+\:\frac{2}{x})}$

只要它遵循$\mathrm{x\:=\:\frac{2}{x}\:or\:x^{2}\:=\:2\:thus\:\sqrt{2}\:=\:x}$

因此，序列$\mathrm{(x_{n})}$收斂到$\mathrm{x}$

我們有$\mathrm{x_{n}\:\geq\:\sqrt{2}\:,\:n\:\geq\:2}$ 當遵循$\mathrm{\frac{2}{x_{n}}\leq\:\sqrt{2}\:\leq\:x_{n}}$

因此，我們得到了，

$$\mathrm{0\:\leq\:x_{n}\:-\:\sqrt{2}\:\leq\:x_{n}\:-\:\frac{}{x_{n}}\:=\:\frac{{x_{n}}^{2}\:-\:2}{x_{n}}\:,\:n\:\leq\:2}$$

$$\mathrm{\frac{{x_{n}}\:-\:2}{x_{n}}\:\geq\:0}$$

利用這個不等式，我們可以找到任意精度的2的平方根

2的平方根是否為無理數？

$\mathrm{\sqrt{2}}$的真實值未知。最多25位小數，$\mathrm{\sqrt{2}}$的值為1.4142135623730950488016887。$\mathrm{\sqrt{2}}$的值目前已知到萬億位小數。因此，2是無理數。

例題

1)求由4個平方單位組成的正方形的對角線長度？

答案 - 我們知道單位正方形的對角線長度為$\mathrm{\sqrt{2}}$單位。為了確定對角線長度，我們必須考慮兩個單位正方形的對角線長度。一個單位正方形的對角線等於2個單位。正方形的對角線之和等於2個單位。因此，對角線長度為$\mathrm{2\sqrt{2}}$。

2)2的平方根的連分數形式是什麼？

答案 - 2的平方根的連分數寫成如下形式：

$$\mathrm{\sqrt{2}\:=\:1\:+\:\underline{\:\:\:\:1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:2\:+\:\underline{\:\:\:\:1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:2\:+\:\underline{\:\:\:\:1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:2\:+\:\:\frac{1}{2\:+}\:.......}$$

3)一個數是其自身的平方，求這個數？

答案 - 令𝑥為給定數，已知$\mathrm{x^{2}\:=\:x}$，很明顯$\mathrm{x\:=\:1}$。只有一個數滿足給定條件，這個數是1。因此，所需數字為1。

4)如果$\mathrm{x^{2}\:=\:4096}$，確定𝒙的值？

答案 - 因為$\mathrm{x^{2}\:=\:4096\:\Longrightarrow\:x\:=\:\sqrt{4096}\:=\:\sqrt{2\times\:2\times\:4\times\:4\times\:8\times\:8}}$

$$\mathrm{=\:\sqrt{2^{2}\times\:4^{2}\times\:8^{2}}\:=\:2\times\:4\times\:8\:=\:64}$$

因此，𝑥的值為64。

5)計算以下內容

$$\mathrm{\sqrt{\frac{0.64\times\:1.21\times\:0.04}{0.09\times\:0.16\times\:12.1}}}$$

答案 -

$$\mathrm{\sqrt{\frac{0.64\times\:1.21\times\:0.04}{0.09\times\:1.6\times\:12.1}}\:=\:\sqrt{\frac{64\times\:121\times\:4\times\:10^{-6}}{9\times\:16\times\:121\times\:10^{-4}}}\:=\:\sqrt{\frac{16}{9}\times\:10^{-2}}\:=\:\frac{4}{3}\times\:10^{-1}\:=\:\frac{2}{15}}$$

因此，$\mathrm{\sqrt{\frac{0.64\times\:1.21\times\:0.04}{0.09\times\:0.16\times\:12.1}}\:的值為2\:\colon\:15}$

結論

2的平方根用符號√表示，寫成$\mathrm{\sqrt{2}}$ = 1.414 ….. 2的平方根是一個無理數，因為它不能表示為p/q的形式，其中p和q是整數，且q不等於0。

常見問題

1. 平方根的另一個名稱是什麼？

數學符號√表示平方根符號，通常稱為平方根號。在語言中，這個符號被稱為根號。

2. 平方根可以是負數嗎？

由於平方可以是正數或零，因此負數實際上沒有平方根。無理數由非完全平方的數的平方根組成。因此，它們無法表示為兩個整數的商。

3. 什麼是平方數？

非正式地：當您將一個整數（一個“整數”，正數、負數或零）自乘兩次時，結果稱為平方數、完全平方或簡稱“平方”。因此，平方數包括0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144等等

4. 平方根到底是什麼？

一個值自乘後得到該數，就是該數的平方根。例如，4是16的平方根，因為4 × 4 = 16。如您所見，-4也是16的平方根，因為(-4) (-4) = 16

5. 平方數有哪些特徵？

平方數的個位數總是後跟數字0、1、4、5、6或9。當一個數字的個位數為4和6時，其平方結果總是以六結尾。如果一個數字的個位數為1或9，則其平方以1結尾。平方數的末尾零必須始終為偶數。